当折纸邂逅数学

王耀杨

一张纸在不剪开、不粘贴的前提下，完成一件复杂的立体折纸作品？完全可以！当然，这并不是单纯凭借纯熟的折纸技艺和灵巧的双手就能达到的，还需要数学方法的帮助。

“头脑与双手”里的对称结构

在2006-2007年度的麻省理工大学（简称MIT）校园折纸大赛中，一件以该校校训“头脑与双手”为主题设计的折纸作品夺得了“最佳MIT风格奖”和“最佳折纸设计奖”。他的作者是当时还在攻读博士学位的青年学者布莱恩·陈（Brian Chan）。

先来解释一下“头脑与双手”的含义。在人类文明发展历程中，历来有“哲学家传统”和“工匠传统”两种风格迥异的动力，前者注重沉思与冥想，后者则倾向于动手实践。 二者相辅相成，彼此辉映，促成人类文明的不断前进。从图1中我们看到，一个人手中持着锤子，代表实践活动，另一个人手捧书卷，代表理性思考；所以也有人将MIT的校训译为“理论与实践并重”。图2则是激发创作者灵感的MIT图标。

这件作品最神奇的地方在于，它是用一张正方形的纸在不剪开、不粘贴的前提下折成的。图3显示的是它的折痕图（有部分省略），上面的线条表示折叠过程中产生的折痕。

第一眼看时，这样复杂的折痕图简直令人眼花缭乱，但仔细观察，你会从中看到很多可以理解的内容。比如，左上角区域的折痕不就是我们熟悉的纸鹤？相信很多同学从小就会折出这一构造，但是你仔细观察过它的折痕图（图4）吗？图中另一个清晰的特征就是对称性，位于左下角和右上角两个四分之一区域的结构几乎一模一样，这意味着它们将会产生两部分很相近的立体结构，是什么呢？当然就是那两个人！

按照上面的思路，相信大家可以凭借自己的兴趣来分析这张折痕图了。这里要强调的是，上述分析的要点在于关注“模式”（pattern），即整体结构特征和具有一定普遍性的规律，而不是过多着眼于细节。创作者是先有一个立体构造目标，然后再为此设计折纸方法的。

折出“突出部分”数学帮大忙

难道折纸家竟然已经神通广大到想要折什么就可以折出什么的程度吗？完全正确！

20世纪末，一位名叫朗（Robert.J.Lang）的美国学者（他是折纸设计者兼折纸艺术家，同时是一名物理学家）发明了一种叫作“Treemaker”的算法，这种算法可以实现“想折什么就折什么”的梦想。朗的作品很多，图5中提供了一些有趣但远远算不上复杂的实例。

如何将这些圆形区域组合起来，保证各个“突出部分”真的能够组合成我们需要的形状呢？这类问题正是数学家所擅长的，解决问题需要两方面的知识：

一是关于不同大小的圆在正方形内部的堆积，这方面的研究可谓汗牛充栋。甚至还有一个极为重要的世界级难题，叫作“开普勒猜想”（Kepler conjecture），讨论球体在空间中不同堆积方式导致的空间占有率的问题。广义地讲，圆在平面内的堆积可以看作是该研究方向的问题在二维情况下的特例。

二是在组合圆形区域时涉及的“限制性定理”。关于折痕图中的“限制”，可以概括为四个定理，它们分别是：用两种颜色可以将折痕图中区域涂色使得任意两相邻区域颜色相异，每个顶点附近的峰、谷折痕数相差2，将每个顶点周围的夹角依次编号则奇、偶号码的角度之和都等于平角，以及纸面不会穿过自身。限于篇幅我们不在这里详细讨论，只需说明它们的意义在于使我们的组合尝试减少了盲目性从而更有效率。

我们需要强调的是，数学方法的引入对于折纸家创造才华是一种强有力的辅助而绝不是限制，因为自由创造折痕图的能力使得“想折什么就折什么”成为可能，但是将折痕图转化为立体折纸实物还需要折纸家高超的技能。在这个意义上，“哲学家传统”与“工匠传统”实现了真正意义的合流，体现出人类智慧的伟大生机。