应用型本科院校高等数学教材改革的思路和建议

韩慧蓉，张惠玲

(西安航空学院 理学院，陕西 西安710077)

1 研究现状

20世纪90年代，由于国民经济的快速发展、经济结构的调整以及社会需求的变化，一大批应用型本科院校应运而生，到目前为止，数量已多达本科院校的三分之一，成为我国高校建设中一支不可或缺的力量。

然而，由于应用型本科院校在我国的发展历史还相对较短，教材的编写又是一件费时费力、十分繁杂的工作，对编写者的要求较高，不仅要熟悉应用型本科院校的办学模式和人才培养定位，还要熟悉教材内容、高瞻远瞩，更要了解学生的特点，否则很难编写出针对性较强的教材，所以尽管已发行的高等数学的教材从种类到数量十分庞大，但是我们很难寻觅到一部较为权威的、普遍适用于应用型本科院校的、特色鲜明的教材。

2 教材建设的思路

2.1 与高中数学合理衔接

近年来，高中数学课改的幅度是比较大的，从教学理念、教学内容到教学方法都有比较大的变化。数学教学从传授知识的传统模式转变到以激励学习为特征的、以学生为中心的实践模式。教学内容上删去了排列组合、复数、极坐标等内容，三角函数内容也有较大削减，同时增加了计算方法、统计学、概率学的初步知识等[1]。而大学数学相对于高中数学，改革的步伐滞后了许多[2]。教学理念上还相对陈旧，许多现代数学思想没有得到体现；教学内容上变化不大，特别是对高中数学的变化反应迟钝，导致大学数学与高中数学教材内容脱节，教师不得不补充一些相关知识才能使教学内容衔接起来，降低了大学数学教学的效果。

高等数学教材是高中生升入大学的第一本大学数学教材，应结合中学数学课改的情况，从教学内容、教学思想上与高中数学合理衔接，充分考虑到科技进步与社会发展对大学数学提出的新要求，才能使学生更好地适应大学数学的学习。

2.2 增强教材的可读性

高等数学课程在实行教学改革之前，其教学内容和课程体系基本上来源于五十年代初的前苏联。长期以来，受苏联教材影响，我们的数学教材过于注重理论严谨和条理清晰[3]，很多计算和证明以最完美的结果呈现出来，至于这个结果的思维过程，学生往往是看不到的，这就使得教材显得过于生硬，严肃有余而活泼不足。学生自学课本往往感到看不懂，不爱看，问题多。

增强教材的可读性主要应从以下几个方面入手：

2.2.1 语言的可读性

在这点上，国外一些教材做出了有益的尝试，也取得了不错的效果[4-6]。美国的微积分教材一般采用与读者直接交谈式的讲解，语言亲切，讲解详细明白，富有启发性，别具特色。例如，James Stewart所著微积分教材中经常会出现这样的语言：“我们猜想……但是这一次我们的猜测是错误的”，“这个定理看上去令人惊讶”等[7]。由著名数学家、美国麻省理工学院教授Gilbert Strang所著的《微积分》一书在讲解时，摒弃了那种“定义—定理—证明—例题—应用”的枯燥无味的讲解模式[8]，用口语化、课堂讲授式、提问式的语言启发读者一步一步去思考和理解，激发了学生进一步求知的欲望，值得我们借鉴。

2.2.2 图文并茂、直观形象

讲解定理、例题或概念时，尽量配以精确精美的几何图形，可以使学生在学习抽象的知识时先有一个感性的认识。这样做符合学生的认知过程，还能极大地增强教材的可读性和趣味性，增强学生的学习兴趣。

2.2.3 不追求过分的系统性

国内教材由于主要脱胎于前苏联的相关教材，一般比较注重理论体系的完整和推理过程的严密。结构上环环相扣，从预备知识到概念引入，然后到性质定理和例题等。这样做的好处是逻辑性强，十分严谨。但是很多有用的知识无法插入，如欧拉公式。很多知识的自然背景和思考过程是看不到的，直接呈现在课本上的就是抽象的概念、公式或结论，学生的学习过程往往是被动的。一般学生只能囫囵吞枣，少数优秀的学生学到后来才恍然大悟。

新加坡李秉彝教授编写的微积分教材中许多重要的公式都以应用的方式出现[8]，采用由浅入深、由直观到抽象、循环反复、层层深入的原则, 以完全新颖科学的方法安排了微积分中重要内容的出场顺序，虽然系统性差些，但学生学起来有兴趣且容易掌握。

2.3 增加实用性，选用新颖有趣的实例

如何解释雨后彩虹的形成和它的位置？如何计算水坝所承受的压力？怎样分析生态系统中捕食者与被捕食者数量的周期性变化？怎样推算火箭的逃逸速度？......高等数学的应用问题数量众多[9]，非常有趣，在物理、几何、建筑、金融、医学、军事等各个方面随处可见。但我们的教材只是在导数应用和定积分的应用部分有少量涉及，很少触及其他领域。而且这些问题多年不变，缺少时代气息，与时俱进的少，解题过程往往比较抽象、枯燥、难以下手。教师也因为这些内容难教因而将应用简化压缩，考试题目中也往往不涉及，从而让学生感觉不到解决实际问题的乐趣和数学的实用价值，学了不会用，甚至有的认为数学无用。所以如果我们在教材中增加一些与实际联系紧密的应用问题，既能还数学来源于生活和实际的本来面貌，又能培养学生将数学知识应用于日常生活、工程技术、社会实践的能力，成为培养创新型人才的一条重要途径。

2.4 重视数学思想，降低证明和计算技巧性难度

2.4.1 降低概念讲解和证明的难度

大学一年级学生接触到的第一个最基本的概念是极限，如何处理极限的ε-δ定义在教学中是一个困难的问题。国内很多教材认为ε-δ能使学生对极限的概念有精确、深刻的认识，但是用ε-δ定义去证明很多结论却增加了教材的难度。而有些教材为降低理解难度，仅用“无限趋近”等来描述极限，因此余下许多有关的极限定理只好回避ε-δ，使得学生对极限概念的理解比较肤浅。

龚昇教授所著《简明微积分》中对极限的概念是分两步骤[10]，第一章引入极限的概念仅用“无限趋近”，“无论预先给定怎样小的正数”，“差的绝对值总小于预先给定的正数”等描述性语言，对极限的性质一律不讲，接着学习连续、定积分、导数的概念，然后讲微积分的运算与应用，直到第九章才引入ε-δ语言[10]，介绍数列极限和函数极限的定义和性质。这样做的好处是，避免学生一开始就陷入对ε-δ语言的理解的困难中，也不影响后续概念的理解，在一定的数学素养的基础上再介绍ε-δ语言，符合先易后难、循序渐进的认知规律。

一些定理或结论的证明可以适当降低难度，很直观的结果可以不证，比较复杂的证明可以通过对简单情况的证明加以说明即可[7]。数学本原问题是处理数学教学的灵魂，对于应用型本科的学生来说，重在对数学思想的理解和把握。萧树铁先生在一份《高等数学》教学改革报告中要求：“讲推理，更要讲道理。”姜伯驹先生说：“在某种意义上说，会用微积分比会证明更重要。”

2.4.2 降低计算难度

目前，高等数学普遍存在着内容丰富与课时不断减少的矛盾，存在着要增加近代数学知识与实际有用的问题挤占经典理论知识课时的矛盾。教师总是在抱怨课时不够，而我们的学生把大量时间花费在学习一些无用的计算技巧上，像很多积分技巧，一般一个普通的工科专业的学生几乎不会用到，即便是偶然用到，也已经有成熟的数学软件了。

新加坡李秉彝教授编写的微积分讲解罗比达法则求极限时[8]，仅给出0/0型，∞/∞型，0·∞型，∞-∞型的五个例子，其余类型和各种演算技巧都不讲；介绍积分方法时，仅介绍定积分的计算，不定积分的计算一带而过。国内教材中，龚昇教授所著《简明微积分》和西安交通大学马知恩、王绵森教授所著《高等数学简明教程》也对积分运算做了大量缩减[11]，体现了仅了解数学思想，计算技巧点到为止的教学理念。这给我们有益的启示。

2.5 重视数值计算、将数学理论与计算机应用相 结合

国外的教材一般会花大量篇幅介绍与计算机结合的数值计算的思想和方法，能有图形的例题通常都会提供图形，如例题，求曲线y=ex/(1+x2)在点(1,e/2)的切线方程，先用数学运算，然后用计算机作图，两者结论相互比较相互印证。牛顿法、辛普森法则等使用计算机可以非常便捷得到初值和最优解。积分应用中大量地提供用数学软件绘制的精美立体、赏心悦目的图形[7]，这使学生感受到了数形结合之美，还开阔了思维，降低了理解的难度，可以节约时间深入思考理论和更复杂的例子，更容易应用到真正的实践问题中，也符合计算机应用越来越广泛的趋势[12]。

国内教材目前在这方面体现的较少，对数值计算与数学软件的应用虽有涉及，但是由于课时限制、软件工具的使用还不普及等因素的影响，纯粹手工计算很繁琐，考试内容又很少涉及，所以往往重视程度不够，而这一点在工程问题中却恰好是至关重要的。

3 结语

高等数学教材的改革要想有所突破，一是需要我们转变观念，汲取国内外优秀教材中有益的东西, 在教学过程中做一些改革和尝试。二是改革的步子要加快，尽快与中学课改和现代计算机迅猛发展结合起来。三是教学方式从传授知识的传统模式转变到以激励学习为特征的、以学生为中心的实践模式。四是注重学生综合能力的培养,加强应用研究，调动学生自主解决问题的意识和能力，培养学生参与解决问题的全过程[13]，只有这样我们才能培养出合格的有创新能力和有创造力的优秀工程师。

[1] 廖小莲，陈国华，蒋馨初.基于高中课改形势下的地方本科院校高等数学教学改革[J].当代教育理论与实践，2011(10)：99-101.

[2] 薛有才.基于高中数学课改的大学数学课程体系改革[J].浙江科技学院学报，2011(2)：63-66.

[3] 冯良贵.关于高等数学教学改革的几点认识[J].工科数学，2002(10)：62-65.

[4] 曲峰林，张青.美国高校中微积分教材的特点与我国高校微积分教材建设[J].高等函授学报，2010(8)：14-15.

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[6] Finney，Weir，Giordano.Thomasca lculus[M].叶其孝，王耀东，唐兢，译.北京：高等教育出版社，2003：85-203.

[7] James Stewart.Calculus：Early Transcendentals[M].白峰杉，译.北京：高等教育出版社，2004：102，111，456-474.

[8] 林熙.从李秉彝教授的微积分教材看国内工科少学时高数教材的改革[J].工科数学，1994(8)：85-88.

[9] 郭镜明，韩云瑞，章栋恩，等.美国微积分教材精粹选编[M].北京： 高等教育出版社，2012：295-357.

[10] 龚昇.简明微积分[M].北京： 高等教育出版社，2006：1-33,358-393.

[11] 马知恩，王绵森.高等数学简明教程[M].北京：高等教育出版社，2012：189-220.

[12] 叶赛英，胡月.国内外两本微积分教材的比较与启示[J].大学数学，2007(2)：187-190.

[13] 田坚.工科本科《高等数学》教学内容改革的研究[J].重庆工业管理学院学报，1996(12)：94-96.