用抛物线弓形面积巧解竞赛题

郑 金

(凌源市职教中心，辽宁 凌源 122500)

证明:如图1所示，在直角坐标系中，取抛物线上的对称弓形OBC，其外接矩形为ABCD.

设抛物线方程为y=ax2，C点坐标为(x1，y1)，则对应的第一象限矩形的面积为S=x1y1，为了求凹边直角三角形ODC的面积S1，可将其分成许多与y轴平行的窄条矩形，则各微元矩形的面积用微分表示为dS=ydx，两边积分得面积

图1

利用抛物线弓形的面积解决有关物理问题，可避免数学积分过程，能化繁为简，现举例分析.

例1.以初速度v0斜上抛一个物体，忽略空气阻力，当抛射角θ为多大时，运动轨迹与水平轴所围成的面积最大?

解析:以抛出点为坐标原点，水平分速度方向为x轴，竖直向上为y轴，建立直角坐标系，沿坐标轴方向分解斜抛运动，其位移分别为

图2

例2.由粗细均匀的同一种电阻丝制成的半径为r的圆环置于匀强磁场中，磁感应强度为B，方向与环面垂直，磁场边用虚线表示，如图2所示.现将环以速度v垂直于磁场方向匀速拉出磁场，v的方向与边界垂直，求此过程中环中产生的热量为多少.设电阻丝每单位长度的电阻为R0，环电感忽略不计.

由于圆环在磁场中运动全过程的位移为2r，则对应区间的抛物线图形为弓形，由热量公式Q=可知，抛物线弓形面积在数值上等于热量，而弓形的弦长为t=2t0=故热量为Q=

例3.如图3所示，水平面上两导轨的间距为l，左端串联一个电阻R，金属棒MN的质量为m，与导轨接触良好，且电阻和摩擦均不计.匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应器度大小为B.金属棒在外力作用下从静止开始做匀加速运动，加速度为a，求t秒内电流对电阻R所做的功.

图3

图4

解析:电流对电阻R所做的功就是安培力对金属棒所做的功，也就是电路中产生的焦耳热.如果求出安培力对位移的平均值，则金属棒克服安培力所做的功为W=其中位移

由抛物线弓形面积的结论可知图线与x轴围成的面积为S==vx，而v=at，所以在t秒内电流对电阻R所做的功即金属棒克服安培力所做的功为

或者直接求出电功率的瞬时值关系式为

这是关于时间t的一元二次函数，其图像为过原点开口向上的抛物线，由于所求的安培力对金属棒所做的功即电路中产生的焦耳热为W=，表示图像与t轴围成凹边直角三角形的面积，所以

例4.如图5所示为示波器中的锯齿形扫描电压u随时间t变化的图像，试求此交变电压的有效值.

图5

图6

根据热量与热功率和时间的关系Q=Pt，只要求出瞬时功率对时间的平均值，即可求出热量Q=.这相当于对瞬时功率的积分，在数值上等于P-t图像与t轴围成图形的面积.因此只要写出电功率关于时间的一元二次函数，就可计算电流所做的功即焦耳热.

图7

图像的面积具有一定的含义，如图1所示，图像上各点对应的象限矩形的面积为S=xy，分成两部分的面积分别为S1=x和S2=，但数值大小和意义都不同，例如S1=表示的是图像与x轴围成的面积，实质是把x轴分成许多微元Δx，每个微元对应一个y值，即对应一个y轴方向的细条矩形，所有细条矩形的面积之和等于图线与x轴围成的凹边三角形的面积.若把y的平均值用一条“中位线”来表示，则凹边三角形的面积等于中位线与x轴围成的矩形的面积.或者说，矩形面积公式为S=xy，由于在凹边三角形ODC中，y=ax2和x是同时变化的，因此无法求出乘积，但可对x轴上各点对应的纵坐标yi进行平均，求出一个平均值，则与x的乘积为面积S=

在利用图像法求面积时，要注意面积的物理意义，由于图线跟不同坐标轴所围的面积具有不同的含义，因此要根据物理意义来确定所求面积是对应哪个坐标轴的.一般来说，相对于哪个量取平均，就用哪个轴上的面积.例如对于图4，求面积是利用速度相对于位移的平均值，而纵轴表示位移，则面积是对应纵轴的;对于图7，求面积是利用功率对时间的平均值，而横轴表示时间，则面积是对应横轴的.再者，物理量取平均不是随意的，例如对于图4，只能把速度取平均，而不能把位移取平均;对于图7，只能把功率取平均，而不能把时间取平均.能取平均的物理量一般是状态量，而不是过程量.

1 倪一宁.换个角度看抛体运动［J］.中学物理教学参考，2001(6).

2 李小棣.妙用微积分知识解决一个物理疑难［J］.物理通报，2011(10).

3 王胜利.计算交流电有效值的三种方法［J］.中学物理教学参考，2010(5).