素超代数上广义超导子的线性组合

袁 鹤

(吉林师范大学 数学学院，吉林 四平 136000)

素超代数上广义超导子的线性组合

袁 鹤

(吉林师范大学 数学学院，吉林 四平 136000)

本文给出了超代数上广义超导子的定义并研究了素超代数上广义超导子的线性组合．

素超代数；超导子；广义超导子

1957年，Posner[1]指出非交换素环上的中心化导子必为零．Posner定理发表之后，出现了大量研究素环上映射的文献．二十世纪末，人们对超代数产生了浓厚的兴趣，许多学者把素环上的理论推广到了素超代数上，其中Chen[2]把Posner定理推广到了素超代数上．

1993年，Bresar 研究了素环上导子的线性组合，他在文献[3]中证明了：设R是素环，d,g,h是R上的导子，若存在非中心元素a,b满足d(x)=ag(x)+h(x)b，则存在λ∈C，使得d(x)=[λab,x]，g(x)=[λb,x]，h(x)=[λa,x]，其中C是R的扩展形心．1998年，牛凤文[4]讨论了素环上三个导子的线性组合，证明了：设R是素环，f,h,t是R上的非零导子，a,b,c∈R且af+bh+ct仍为R上的导子，如果b,c在R中的中心化子不相等，则存在λ,μ，ρ∈C，使得h=μf，t=λf，ρ=a+μb+λc．2002年，王宇[5]去掉了牛凤文关于中心化子的限制，从而得到了更完整的结论．2008年，本文作者[9]讨论了素超代数上超导子的线性组合．本文的目的是研究素超代数上广义超导子的线性组合．

若超代数A满足当aAb=0时，有a=0或b=0，其中a,b∈A0∪A1，则称A是素超代数．Montaner[6]证明了:若A是素超代数，则A和A0作为代数是半素的且至少有一个是素的，所以可以构造A的扩展形心C和极大右商环Qmr．关于它们的结构及相关性质可参见[7]．

下面我们给出超代数上广义超导子的定义和一些经常用到的引理．

定义：设A是超代数且i∈{0，1}，称一个A到A的Φ—线性映射gi是度为i的广义超导子，如果它满足gi(Aj)⊆Ai+j，j∈Z2且存在A上度为i的超导子di满足gi(ab)=gi(a)b+(-1)i|a|adi(b)，a,b∈A0∪A1．如果g=g0+g1，则称g是A上的广义超导子；d=d0+d1为g的伴随超导子．

(i)若C1=0，则对于任意的xk∈Ak有

引理2([9]，引理3.1)：设A是素超代数，f,h,t是A上超导子，若存在a,b,c∈A满足af+bh+ct为A上超导子，则对于任意的x,y∈A有

[a,x]f(y)+[b,x]h(y)+[c,x]t(y)=0．

引理3([9]，引理2.4)：设A是素超代数，f,g为A上超导子，a,b∈A，若对于任意的x∈A有af(x)+bg(x)=0，则对于任意的x,y∈A有axf(y)+bxg(y)=0．

引理5([11]，定理3.1)：设A是素超代数，g是A上广义超导子，则g可被扩张到Qmr上且存在a∈Qmr和A上的超导子d满足g(x)=ax+d(x)，a和d是由g唯一确定的．

定理1：设A是素超代数，d,f,g,h为A上非零广义超导子，ω，α，β，γ为其非零伴随超导子．若对于任意的x∈A有d(x)=af(x)+bg(x)+ch(x)，其中a,b,c∈A，则下列条件成立：

(i) 对于任意的x∈A有ω(x)=aα(x)+bβ(x)+cγ(x)，

(ii){a,b,1}，{b,c,1}，{a,c,1}中一个是C-相关集，或存在不全为零的λ,ρ,ε∈C使得λf+ρg+εh为左乘映射．

证明：(I)当a,b,c中任两个为零时，不妨设b=c=0．由假设，

d(x)=af(x),x∈A

所以

d0(x)=a0f0(x)+a1f1(x)；d1(x)=a0f1(x)+a1f0(x)．

以两种不同的方式展开d0(xy)，有

d0(xy) =a0f0(xy)+a1f1(xy)

=a0f0(x)y+a0xα0(y)+a1f1(x)y+a1σ(x)α1(y)

d0(xy) =d0(x)y+xω0(y)

=a0f0(x)y+a1f1(x)y+xω0(y)．

比较上面两个式子，对于任意的x,y∈A有

xω0(y)=a0xα0(y)+a1σ(x)α1(y)．

(1)

在(1)中取x0∈A0有

x0ω0(y)=a0x0α0(y)+a1x0α1(y).

(2)

由引理1，当C1≠0时，有xω0(y)=a0xα0(y)+a1xα1(y)．

当C1=0时，在(1)中取x1∈A1，yi∈A0∪A1有

x1ω0(yi)=a0x1α0(yi)-a1x1α1(yi)，

由引理1有

x1ω0(yi)=a0x1α0(yi)，a1x1α1(yi)=0．

相加有

x1ω0(yi)=a0x1α0(yi)+a1x1α1(yi)．

所以

x1ω0(y)=a0x1α0(y)+a1x1α1(y)．

(3)

由(2)和(3)有xω0(y)=a0xα0(y)+a1xα1(y)．

同理展开d1(xy)有xω1(y)=a0xα1(y)+a1xα0(y)，所以

xω(y) =xω0(y)+xω1(y)

=a0xα0(y)+a1xα1(y)+a0xα1(y)+a1xα0(y)

=axα(y)．

因为素超代数上任意的广义超导子可扩张到Qmr上且1∈Qmr，所以取x=1，显然(i)和(ii)成立．

(Ⅱ)当a,b,c中有且只有一个为零时，不妨设c=0．由假设，

d(x)=af(x)+bg(x),x∈A，

则

d0(x)=a0f0(x)+b0g0(x)+a1f1(x)+b1g1(x)；

d1(x)=a0f1(x)+b0g1(x)+a1f0(x)+b1g0(x)．

和(Ⅰ)一样的方法有ω(x)=aα(x)+bβ(x)，所以(i)和(ii)成立．

(Ⅲ)当a,b,c均不为零时，对于任意的x∈A有

d(x)=af(x)+bg(x)+ch(x)；

d0(x)=a0f0(x)+b0g0(x)+c0h0(x)+a1f1(x)+b1g1(x)+c1h1(x)；

d1(x)=a0f1(x)+b0g1(x)+c0h1(x)+a1f0(x)+b1g0(x)+c1h0(x)．

和(Ⅰ)一样的方法可得ω(x)=aα(x)+bβ(x)+cγ(x)，所以(i)成立．

由引理2，对于任意的x,y∈A有[a,x]α(y)+[b,x]β(y)+[c,x]γ(y)=0．

由引理3，对于任意的x,y,z∈A有

[a,x]zα(y)+[b,x]zβ(y)+[c,x]zγ(y)=0．

(4)

在(4)中用w代替y，右乘γ(y)有

[a,x]zα(w)γ(y)+[b,x]zβ(w)γ(y)+[c,x]zγ(w)γ(y)=0．

在(4)中用zγ(w)代替z有

[a,x]zγ(w)α(y)+[b,x]zγ(w)β(y)+[c,x]zγ(w)γ(y)=0．

比较上面两个式子有

[a,x]z[α(w)γ(y)-γ(w)α(y)]+[b,x]z[β(w)γ(y)-γ(w)β(y)]=0．

若α(w)γ(y)-γ(w)α(y)≠0或β(w)γ(y)-γ(w)β(y)≠0，由引理4存在不全为零的λ1,λ2∈C使得λ1[a,x]+λ2[b,x]=0，所以[λ1a+λ2b,x]=0，即λ1a+λ2b∈C，显然(ii)成立．

因此，若{a,b,1}，{b,c,1}，{a,c,1}均为C-无关集，则必有

α(w)γ(y)-γ(w)α(y)=0；β(w)γ(y)-γ(w)β(y)=0．

比较上面两个式子有

[α(w)-β(w)]γ(y)-γ(w)[α(y)-β(y)]=0．

用y代替w有[α(y)-β(y)]γ(y)-γ(y)[α(y)-β(y)]=0．

由引理3，对于任意的x,y∈A有[α(y)-β(y)]xγ(y)-γ(y)x[α(y)-β(y)]=0．

由引理4，存在不全为零的λ3，λ4使得λ3α(y)-λ3β(y)=λ4γ(y)．

由引理5，设f(x)=mx+α(x)，g(x)=nx+β(x)，h(x)=px+γ(x)，其中m,n,p∈Qmr，所以λ3f(x)-λ3g(x)-λ4h(x)=(λ3m-λ3n-λ4p)x，因此存在不全为零的λ,ρ，ε∈C使得λf+ρg+εh为左乘映射．

[1]E.C.Posner.Derivations in prime rings [J].Proc.Amer.Math.Soc.,1957,8:1093-1100.

[2]T.S.Chen.Supercentralizing superderivations on prime superalgebras [J].Comm.Algebra,2005,33:4457-4466.

[3]M.Bresar.Centralizing mappings and derivations in prime rings [J].J.Algebra,1993,156(2):385-394.

[4]牛凤文.素环上导子的线性组合 [J].吉林大学学报,1998,1:24-26.

[5]Y.Wang.The linear combination of derivations in prime rings [J].Northeast.Math.J.,2002,18(4):298-302.

[6]F.Montaner.On the Lie structure of associative superalgebras [J].Comm.Algebra,1998,26(7):2337-2349.

[7]K.I.Beidar,W.S.III.Martindale,A.V.Mikhalev.Rings with Generalized Identities[M]．Dekker,New York,1996.

[8]Y.Wang.On-derivations of rings [J].J.of Math.(PRC),2003,23:64-66.

[9]He.Yuan.A linear combination of superderivations on prime superalgebras [J].Northeast.Math.J.,2008,24(5):399-408.

[10]M.Fosner.On the extended centroid of prime associative superalgebras with applications to superderivations [J].Comm.Algebra,2004,32(2):689-705.

[11]H.Yuan,Y.Wang.The product of generalized superderivations on a prime superalgebra [J].Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics,accept.

TheLinearCombinationofGeneralizedSuperderivationsonPrimeSuperalgebras

YUANHe

(College of Mathematics,Jilin Normal University,Siping 136000,China)

In the paper, we give the definition of generalized superderivations on superalgebras and study the linear combination of generalized superderivations on prime superalgebras.

prime superalgebra; superderivation; generalized superderivation.

梁怀学)

2014-05-16

吉林省教育厅“十二五”科学技术研究项目(吉教科合字[2013]第210号)

袁 鹤(1983-)，女，吉林省四平市人，现为吉林师范大学数学学院讲师，在读博士.研究方向：代数环论.

O153.3

A

1674-3873-(2014)03-0090-03