“数学思想”是开启数学解题的“金钥匙”

摘 要： 数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果.常见的数学思想有以下几种：化归思想；数形结合思想；方程思想；分类讨论思想.数学思想是数学的精髓.

关键词： 数学思想 化归 数形结合 方程 分类讨论

所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果.数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识，它是解题的灵魂，是解题的金钥匙.常见的数学思想有以下几种。

一、化归思想

《新课标》要求：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上.”学生学习数学的实质是：将生疏问题转化熟悉问题的过程，教师要深刻挖掘新教学内容的量变因素，将学生要掌握的新知识，加工到使学生通过努力能够接受的水平上，降低学生接触新内容时的陌生度，避免因研究对象的变化而产生的心理障碍，这样做可达到事半功倍的效果.在解决数学问题时，若对当前的问题感到困惑，则可运用化归思想，把它进行变换，使之化简，从而使问题得以解决.解下面方程的过程，就是把“复杂”化为“简单”，把“未知”化为“已知”的过程.

例如：在学习解一元一次方程后，学习解二元一次方程组和解一元二次方程，师生可共同探究得到：解二元一次方程组，就是通过加减消元或代入消元的方法将二元一次转化为一元一次方程，该转化称为“消元”；解一元二次方程就是，就是通过因式分解将一元二次方程转化为两个一元一次方程，该转化称为“降次”.学生只要理解、掌握解一元一次方程和因式分解方法，对解二元一次方程组和解一元二次方程的方法就容易理解和掌握.

（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=进价销×售量）

二、数形结合思想

利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简.数形结合思想和其他各种数学思想一样，渗透在整个教学内容之中.如：①数轴的引入为七年级的学生形象地研究有理数，进而研究实数提供了工具.②“平面直角坐标系”这章中，明确了平面直角坐标系内的点与有序实数对之间的一一对应关系，并且研究了坐标符号与点的位置的关系及平面内两点间的距离.③利用函数图像直观地解决一些实际问题，拓展了数形结合的教学.④动态问题是今后数学经常研究的问题，用函数解决一些简单的动态问题是常用的方法.

“数无形时少直观，形无数时难入微”，这是我国数学家华罗庚对数学结合思想的精辟论述.数形结合的思想是通过数形间的对应与互助来研究并解决问题的思想，是最基本的数学思想之一，应用范围较广泛，为解决实际问题提供了巧妙的思想方法.数形结合的思想方法，是研究数学问题的一个基本方法.深刻理解这一观点，有利于提高发现问题、分析问题和解决问题的能力.

三、方程思想

把未知数看成已知数，让代替未知数的字母和已知数一样参加运算，这就是方程思想，列方程解实际问题就充分体现了这一思想.

例3：有一位牧师问一个男孩：“你们家兄弟有几个？姊妹有几个？”他回答：“我有几个兄弟就有几个姊妹.”同一个问题这位牧师又问男孩的姐姐，她回答说：“我的兄弟数是我姊妹数的2倍.”聪明的你知道他们家兄弟、姊妹各有几个人吗？

分析：把其中的一个未知量作为未知数，并用该未知数表示其它未知量，然后根据题中的数量关系，列出等式.

四、分类讨论思想

数学分类讨论思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想.在初中数学教学中使用分类讨论的思想研究和解决问题，有助于让学生发现解题思路和掌握技能技巧，做到举一反三，触类旁通；有助于培养学生学习数学的兴趣；有助于学生数学思维的发展，为学生今后的学习奠定坚实的基础.

以上几种是最常见的数学思想，我们要善于把数学思想灵活应用于解题过程中，使之简单化.总之，掌握了数学思想，就是掌握了数学的精髓；掌握了数学思想，就找到了开启数学解题大门的金钥匙.