数学思想在高中数学解题中的应用

摘 要： 在高中解题教学中，解题策略对学生来说至关重要.数学思想方法是数学解题的精髓.本文阐述了数学思想对高中数学教学的影响，在分析具体例题的基础上，说明了数学思想在高中数学解题中的应用.

关键词： 高中数学教学 数学思想 数学解题 应用

数学解题技巧是数学学习的重要组成部分.数学学科的内容繁杂，问题多种多样，使得数学解题教学困难重重.“授之以鱼，不如授之以渔”，题海战术不是解决数学问题的有效方法，培养学生的数学思维，帮助学生掌握数学思想方法，才是数学解题教学的关键.有效的数学思维锻炼方法能够帮助学生更深层次地理解数学题目的关键点，当学生再次遇到相似的问题时，能够做到以不变应万变，从而取得事半功倍的教学效果.

1.数学思想对高中数学教学的影响

在人类认识事物的过程中，思维活动扮演了十分重要的角色.思维反映了事物的本质和事物之间存在的客观规律，因此，一个人的思维能力直接影响其认知能力.具体到数学思维，指的是人类在学习数学的过程中，人脑认识数学规律的学习过程.学生在学习基本数学知识的基础上，通过观察，对不同的数学知识进行对比，在温故知识的过程中不断激发对数学的学习欲望，掌握特殊的数学思考方式，例如归纳演绎、联想实验等.因此，在数学学习过程中，数学思维能力的高低关系到学生是否能够建立完善的知识网络和知识系统.

首先，数学思维有利于开发学生的思维潜能，锻炼学生思维的灵活性.数学思维主要包括思维敏捷性、深刻性和创造性等方面.经过系统的思维训练，能够激发学生的思维潜能，拓宽学生的数学学习思路，丰富学生的数学学习方式，改变学生按部就班的学习习惯，帮助学生开拓创新，在此基础之上保证良好的数学学习效果.

其次，数学思维能够开发学生的观察能力.观察是学生进行数学学习的最初步骤，人脑的任何思维活动都是从观察开始的.人通过观察认识事物，挖掘事物内在与外在的特点，从而认识事物的本质.而没有经历思考过程的观察是盲目的，无法认识事物的本质.在数学学习过程中，数学思维能够将数学观察和理论知识统一起来，对事物进行数学处理，从而解决实际问题.因此，数学思维能够开发学生的观察能力，培养学生良好的观察习惯，激发学生的学习兴趣.

2.数学思想在高中数学解题中的应用

在数学学习过程中，我们经常用到的数学思想有哪些呢？教师在教学过程中应当如何开发学生的数学思维呢？笔者结合自身的教学经验，谈谈高中数学解题中常用的数学思想.

2.1分类讨论思想在数学解题中的应用

在高中解题中，很多学生会发现，有些数学问题看似简单，但是随着问题的逐渐展开，我们往往无法再以某种统一的方法解决这一问题，这种数学问题常常包含多种情况，需要学生具体情况具体分析，将一道题分为不同的情况，根据不同的方法进行解答，最后将结果集中起来，从而达到由难化简、有整体化部分的目的，最终解决问题.这就是分类讨论思想.

学生在运用分类讨论思想解题时，需要注意以下几点.首先，找出分类讨论的关键点.数学题中往往隐含需要分类讨论的启发性条件，我们只有为分类讨论找出足够的理论依据，才能够运用分类讨论思想.例如，有些数学公式在不同的数学条件下有不同的公式定义形式，一些几何问题由于图形变化而导致结果不确定等.同时，在明确分类原因后，我们需要正确运用分类讨论的方法；分类讨论要做到不重复、不遗漏，一个很关键的因素是统一分类标准，滥用分类标准很容易在解题过程中思维混乱，层次不清，最终导致错解.最后，做好整合工作，分类讨论解题的整合工作十分重要，将重叠的部分好好整合，尽量简化计算结果，做到简明扼要，一目了然.

下面以一个简单的集合例题感受一下分类讨论方法在数学解题中的具体应用.

2.2转化与逆向思维在数学解题中的应用

高中解题中常常用到转化思想.根据布鲁姆的教育理念，转化思想是将某一问题从一种表达形式转换成另一种表达形式，以简化问题的解决方式.转化方式在解题中的应用多种多样，可以将描述性语言转换为图形语言，可以将正面表述转换成反面表述.高中数学难度大、内容多，巧妙运用转换思想可以将陌生的题目转换成熟悉的题目，将复杂的问题转换成简单的问题，从而达到解决问题的目的.

我们以转化思想中的逆向思维为例进行说明.当我们在解决数学题目的过程中，运用正向的分析方法遇到困难时，可以转化为逆向思维尝试解决问题，即反证法.其原理原命题与其逆否命题等价，我们可以通过解决逆否命题来解决原命题，条件是逆否命题较为简单.下面以一个概率问题进行说明.

分析：首先尝试从正面解决该问题，“至少一人投篮成功”包括三种情况：一种是只有一人投篮成功；一种是两人投篮成功；一种是三人均投篮成功.从正面解决问题需要对问题进行分类讨论，较复杂.我们可以将问题转化成对立事件进行分析，即“没有人投篮成功”，而“至少有一人投篮成功”的概率=1-“没有人投篮成功”的概率.

2.3数形结合思想在数学解题中的应用

分析：集合的并、和、非等运算看似简单，但是综合在一起时，学生往往顾此失彼，考虑难以周全，最后造成无从下手.而数形结合就是集合问题的克星，根据题中的条件在维恩图中一一进行标记，就可以轻松得到答案.

2.4整体思想在数学解题中的应用

整体法是数学解题中经常用到的数学思想.多数数学习题都是源于课本而高于课本的，往往看起来复杂的数学题实际上是将旧知识进行重新整合，从另一个角度考查学生对知识的掌握程度.在数学解题过程中，学生常常遇到这样的困难，即有的题目好像条件根本不足以解决问题，造成问题无从下手.实际上，过于纠结这些细枝末节的问题容易为解题带困难，有意识地运用整体构造法能够帮助学生运用旧的知识解决新的问题.我们以一个常见的三角函数问题进行说明.学生经常用到且比较熟悉的角度有：45°、60°、30°等，而碰到22.5°和15°就不知如何解决，其实我们可以将它们与熟知的45°、30°相联系.

3.总结

掌握数学思想方法，在是解决数学问题的有效利器.除了以上谈到的整体思想、分类讨论思想和转化思想之外，常用的数学思想还有化归思想、数形结合思想等.教会学生灵活地运用数学思想有利于激发学生的学习兴趣，培养学生思维的缜密性、科学性等优良品质，提高学生学习效率.

参考文献：

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[3]蔡小雄.更高更妙的高中数学思想与方法（第二版）[M].浙江大学出版社，2010.