超级画板作正三角形的若干方法

现在中小学教师的工作负担普遍较重，要求老师经常使用信息技术制作课件进行授课似乎有些强人所难，所以许多人提倡教师可以充分利用别人已经做出的课件，对其进行加工改造，使之满足自己的课堂教学需要。只要能提高数学课堂教学的效率和质量，在充分尊重别人知识产权和劳动成果的基础上进行借鉴吸收，甚至实行拿来主义，未尝不是一种办法。但是我们认为，中学数学教师还是应该掌握一些必备的信息技术，尤其是一些为数学教学量身定制的数学教育信息技术，例如一些动态几何软件。学习掌握了这些软件一方面可以方便教师的日常教学，一些简单的图形绘制或可现场制作、并不需要多少时间精力的简单课件，教师自己完全可以动手做出来以免除上网查阅下载再修改之辛苦。另一方面，我们认为教师学习掌握一门数学教育软件的过程也是教师自身素质能力提高的过程。选择一个恰当的数学教育软件进行学习，教师既可学到有用的技能，又可以在学习过程中提高对数学的认识和理解，从而有效提高自身的数学素养。

超级画板是张景中院士主持开发的、我国具有完全自主知识产权的优秀动态几何软件，它以服务我国基础教育（尤其是数学、物理等理科）改革为宗旨，具有动态测量、符号运算、编程、自动推理等多项功能。超级画板现有注册版和免费版两种版本。即使教师使用免费版也可以基本满足中学数学教师日常教学工作的需要。而且该软件许多命令实现方式多样化，可供教师根据实际情况选择使用。正三角形是数学中最简单的正多边形，在数学教学中会经常遇到。要使用信息技术作一正三角形也是非常简单的事情，但是简单的事情细细探究也可以变得复杂有趣起来。使用超级画板作正三角形有如下实现途径。

1.智能画笔作图

超级画板的智能画笔功能可以作包括自由点和网格点、直线、线段、射线、等长线段、垂直相等、圆、线段中点、圆周上或线段上的点、平行四边形等二十种基本几何图形，能够用尺规作图完成的图形，使用智能画笔均可以轻松作出。

选择了智能画笔后，先画出线段AB，然后由点B继续画线段，当出现“等边”提示并且线段AB变色，松开鼠标左键即可得到一个以AB为边的等边三角形。该种操作方法能够保证作出正三角形，但是由于满足以AB为边的正三角形第三个顶点只有两个，寻找起来会比较难，需要反复尝试移动鼠标。但是掌握了智能画笔后作其他的各种几何图形都非常方便。

2.菜单命令作图

对于注册版本，在作出了线段AB并选择端点A、B后，可以通过菜单命令“作图—多边形—等边三角形”直接作出满足条件的正三角形ABC。也可分别选择点B、A，执行菜单命令“作图—点—点绕点的放缩旋转点”，在弹出的用户输入命令对话框中分别输入“缩放比例：1；旋转角：60”（如图1所示），点击确定后即可作出正三角形第三个顶点C和线段AC。

图1

对于免费版本的超级画板，菜单命令“作图—多边形—等边三角形”仍可直接执行，但是“作图—点—点绕点的放缩旋转点”却是灰色不可用的。而这个命令又非常重要，例如教师要作一个其中一个内角是50度的三角形就需要通过设置旋转角度来作出满足条件的点。其实，免费版的超级画板除了自动推理等少数功能外，其他的注册版的功能几乎都是具备的，只是在功能的实现途径上不同。

在作出了线段AB后，可以执行菜单命令：“作图—文本作图”，在弹出的“文本命令作图对话框”中既可以找到“EqTriangle（A，B[，Text]）；//ABC是等边三角形”的命令（如图2所示），也可找到“PointFlexRotate（P，A，nTime，nAngle[，Text]）；//P绕A放缩旋转”的命令。双击该命令到上方的空白区后从第一个逗号前开始依次输入点B的编码“6”、点A的编码“5”、放缩倍数“1”、旋转角度“60”（如图3所示），然后点击“运行命令”则可作出正三角形第三个顶点C。

图2 图3

类似的，注册版的菜单命令，通过“文本作图”命令几乎全部可以实现。

3.数学方法作图

美国几何学家佩多教授曾经提出生锈的圆规作图问题[1]，其中之一是已知两顶点A、B能否使用固定半径r的圆规作正三角形。当已知两定点距离小于2r时，则可以通过反复作半径为r的圆的方法找到正三角形第三个顶点F（如图4所示）。容易证明，用该作图方法作出的顶点C是满足条件的。

图4 图5

通过软件的功能菜单可以轻松实现一些操作，如果教师能够通过思考、数学地寻找到问题的解答，则既可以让教师体会到思考发现之乐趣，又可以不断提高数学教师的数学理论修养。类似的训练例子还包括过圆外一点作圆的切线、作两圆的公切线、单尺等分线段等。[2]

4.方便面作图

超级画板为了方便降低操作难度，使之更加适合初学者使用，特别配备了一个可以免费下载的“方便空白页面”（简称为“方便面.zjz”）。“方便面”的程序区支持一百多个简单而容易记忆的命令。要使用它作正三角形，可以在程序区直接输入“z3x（）：”，然后通过同时单击“ctrl+enter”键执行命令，则在作图区会作出一任意的正三角形；若要作以已知点A为其中一个顶点的正三角形，则可以在程序区输入”z3x1（6）；”然后通过同时单击“ctrl+enter”键执行命令，作出以点A（编号为6）的正三角形。同理，如果已知两个顶点A（编号为6）、B（编号为7），要正三角形ABC，则可以在程序区输入“z3x2（5，6）；”的命令作出图形（如图5所示）。

通过使用方便面已经能够做好的这些命令，常常是几个命令就可以完成一个教学用课件。不仅输入步骤简略，而且执行方便快捷，省时省力。如果记不下那么多命令，那么看一下“方便面关键词”就可以查找到所需命令。教师也可以根据自己的需要自己编写一些命令保存起来以备使用。

同一件事情，实现起来的方法多一些，固然可能会带给人们选择的苦恼。但是如果目标明确，实现方法多可以让我们在选择中找到最优路径。使用超级画板作图，既可以通过智能画笔、菜单命令（文本作图）、方便面等轻松简单地直接实现，又可以通过数学思考和使用数学知识来实现。这并不同于“茴字有四种写法”，而是如同数学问题一题多解可以锻炼人的思维一样可促进教师的成长和发展。

参考文献：

[1]张景中.数学家的眼光[M].北京：中国少年儿童出版社，2007.

[2]张景中，彭翕成.动态几何教程[M].北京：科学出版社，2007.