浅析高中数学中的恒成立问题

在高中数学学习中我们经常会遇到一类题型——恒成立问题. 它们以函数知识为载体，涉及一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法.恒成立问题是高中数学学习中的热点问题.下面笔者以这类问题为蓝本，对它进行解析，供同学们在学习中参考.

一、恒成立问题的基本类型

类型1：设f（x）=ax+bx+c（a≠0），

（1）f（x）>0在x∈R上恒成立？圳a>0且Δ<0；

（2）f（x）<0在x∈R上恒成立？圳a<0且Δ<0.

类型2：设f（x）=ax+bx+c（a≠0），

（1）当a>0时，f（x）>0在x∈[α，β]上恒成立？圳-<αf（α）>0或a≤-≤βΔ>0或->βf（β）>0，f（x）<0在x∈[α，β]上恒成立？圳f（α）<0f（β）<0；

（2）当a<0时，f（x）>0在x∈[α，β]上恒成立f（α）>0f（β）>0，

f（x）<0在x∈[α，β]上恒成立-<αf（α）>0或a≤-≤βΔ<0或->βf（β）<0.

类型3：f（x）>α对一切x∈I恒成立？圳f（x）>αf（x）<α对一切x∈I恒成立？圳f（x）>α.

类型4：f（x）>g（x）对一切x∈I恒成立？圳f（x）的图像在g（x）的图像的上方或f（x）>g（x），x∈I.

对于在区间D上求函数f（x）的最大值或者最小值问题，我们可以采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等方法求函数f（x）的最值.

二、恒成立问题在解题过程中常见以下题型

（一）构造一次函数法.若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷.

给定一次函数y=f（x）=ax+b（a≠0），若y=f（x）在[m，n]内恒有f（x）>0，则根据函数的图像（直线）可得上述结论等价于f（m）>0f（n）>0同理，若在[m，n]内恒有f（x）<0，则有f（m）<0f（n）<0.

例1：对于满足|a|≤2的所有实数a，求使不等式x+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围.

分析：在不等式中出现了两个字母：x及a，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.

解：原不等式转化为（x-1）a+x-2x+1>0在|a|≤2时恒成立.

设f（a）= （x-1）a+x-2x+1，则f（a）在[-2，2]上恒大于0，故有：f（-2）>0f（2）>0即x-4x+3>0x-1>0，解得：x>3或x<1x>1或x<-1.

∴x<-1或x>3，即x∈（-∞，-1）∪（3，+∞）.

此类题本质上是利用了一次函数在区间[m，n]上的图像是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可.

（二）构造二次函数法.涉及二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用.

（1）若二次函数y=ax+bx+c（a≠0）大于0恒成立，则有a>0且Δ<0；

（2）若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，则可以利用韦达定理及根的分布知识求解.

例2：若函数f（x）=的定义域为R，求实数a的取值范围.

分析：该题就转化为被开方数（a-1）x+（a-1）x+≥0在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论.

解：依题意，当x∈R时（a-1）x+（a-1）x+≥0恒成立，所以，①当a-1=0，即当a-1a+1≠0时，a=1，此时（a-1）x+（a-1）x+=1≥0，∴a=1.②a-1≠0时，即当a-1>0，Δ=（a-1）2-4（a-1）≤0时，有a>1a-10a+9≤0？圯1

综上所述，f（x）的定义域为R时，a∈[1，9].

在解决函数在给定区间上求参数取值范围问题时利用二次函数型判别式法解决有时并不是最好的方法，我们还可以选择更为简洁方便的方法——分离参数法.

（三）分离参数法.若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.

例3：已知当x∈R时，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求实数a的取值范围.

分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（x∈R），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离.

解：原不等式即：4sinx+cos2x<-a+5

要使上式恒成立，只需-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f（x）=4sinx+cos2x的最值问题.

f（x）= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2（sinx-1）2+3≤3，

∴-a+5>3即>a-2；上式等价于a-2≥05a-4≥05a-4>（a-2）或a-2<05a-4≥0，解得≤a<8.

恒成立问题在高中数学中还有其他一些形式，限于篇幅原因，这里不一一列举.我们在学习的时候必须重点把握和归纳总结，在平时的训练中不断领悟和总结，看清它的实质，做题时才会更加顺利.