从一道习题的解法到一类问题的解法

义务教育教科书苏科版《数学》七年级上册第92页第10题如下：

用正方形的普通水泥砖和彩色水泥砖按下图的方式铺人行道：

（1）图①中有彩色水泥砖 块，图②中有彩色水泥砖 块，图③中有彩色水泥砖 块；

（2）像这样，第n个图形有彩色水泥砖

块.

【分析】本题属于根据图形的变化寻找规律的题型，是一道典型的规律探索类问题，其解法很多，下面我们一起来分析解题的基本思路，从中归纳出解决这类规律探索题的基本方法，进而运用这些基本方法解决一类问题.

【解法1】观察图形从简单到复杂的变化过程中，后一个图案比前一个图案多了几块彩色水泥砖，寻找出图案的变化规律即可.本题中，第一个图案有4=3×1+1块彩色水泥砖；第二个图案比第一个图案多了3块彩色水泥砖，共有7=（3×2+1）块彩色水泥砖；第三个图案比第二个图案也多了3块彩色水泥砖，共有10=（3×3+1）块彩色水泥砖；……以此类推，按照这样的规律摆下去，则第n个图形有彩色水泥砖（3n+1）块.

【解法2】本题中的图案可以看做是由一些正方形水泥砖组成的，当n=1时，图案中有一个白色正方形水泥砖，正方形水泥砖有4条边，4条边上各有一个彩色水泥砖，因此图案中共有4×1块彩色水泥砖；当n=2时，图案中有两个白色正方形水泥砖，每个白色正方形水泥砖有4条边，4条边上各有一个彩色水泥砖，其中有一个彩色水泥砖重叠了，因此共有4×2-1块彩色水泥砖；当n=3时，图案中有三个白色正方形水泥砖，每个白色正方形水泥砖有4条边，4条边上各有一个彩色水泥砖，其中有两个彩色水泥砖重叠了，因此共有4×3-2块彩色水泥砖；……以此类推，第n个图形有彩色水泥砖4n-（n-1）=（3n+1）（块）.

通过上述两种常用的思路，可以解决许多类似的问题.

例1 用同样大小的黑色棋子按图2所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需棋子 枚（用含n的代数式表示）.

【解法1】本题中，第一个图案有4=3×1

+1个黑棋子；第二个图案比第一个图案多了3个黑棋子，共有7=3×2+1个黑棋子；第三个图案比第二个图案又多了3个黑棋子，共有10=3×3+1个黑棋子；……以此类推，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需棋子（3n+1）枚.

【解法2】本题中的图案可以看作是由一些正方形组成的.当n=1时，图案中有一个正方形，正方形有4个顶点，因此图案中共4×1枚棋子；当n=2时，图案中有两个正方形，每个正方形有4个顶点，其中有一个顶点重复了，因此共有4×2-1枚棋子；当n=3时，图案中有三个正方形，每个正方形有4个顶点，其中有两个顶点重复了，因此共有4×3-2枚棋子；……以此类推，第n个图形需棋子4n-（n-1）=（3n+1）（枚）.

例2 如图3所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n（n>1）个点，每个图形总的点数S是多少？当n=5，7，11时，S是多少？

【解法1】第一个图案每条“边”有2个点，共有3=3×1=3×（2-1）个点；第二个图案每条“边”有3个点，比第一个图案多了3个点（每边各增加一个点），共有6=3+3=3

×2=3×（3-1）（个）点；第三个图案每条“边”有4个点，比第二个图案多了3个点（每边各增加一个点），共有9=3+3+3=3×3=3×（4-1）（个）点；第四个图案每条“边”有5个点，比第三个图案多了3个点（每边各增加一个点），共有12=3+3+3+3=3×4=3×（5-1）（个）点；……以此类推，每条“边”（包括两个顶点）有n（n>1）个点，每个图形总的点数S=3（n-1）.当n=5时，S=12；当n=7时，S

=18；当n=11时，S=30.

【解法2】当n=2时，每条“边”有2个点，共2×3个点，顶点上的点重复计算了一次，所以共有2×3-3=3×（2-1）个点；当n=3时，每条“边”有3个点，共3×3个点，顶点上的点重复计算了一次，所以共有3×3-3=3×（3-1）个点；当n=4时，每条“边”有4个点，共4×3个点，顶点上的点重复计算了一次，所以共有4×3-3=3×（4-1）个点；当n=4时，每条“边”有5个点，共有5×3个点，顶点上的点重复计算了一次，所以共有5×3-3=3×（5-1）个点；……以此类推，每条“边”（包括两个顶点）有n（n>1）个点，每个图形总的点数S=3（n-1）.当n=5时，S=12；当n=7时，S=18；当n=11时，S=30.

你还有其他的方法吗？写出来与大家交流吧！

【小试牛刀】

1. （2012·青海）观察下列一组图形：

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有 个★.

2. （2012·宁波）用同样大小的黑色棋子按如图5所示的规律摆放：

（1）第5个图形有多少黑色棋子？

（2） 第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由.

【参考答案】

1.3n+1；2.（1）18；（2）第n个图需棋子3（n+1）枚，设第n个图形有2013颗黑色棋子，则3（n+1）=2013 ，解得n=670，即第670个图形有2013颗黑色棋子.