家庭生活中的数学

代数式是刻画和研究现实世界数量关系的有效模型，我们在日常生活中常常要用这个数学模型来解决一些实际问题，下面举例说明代数式知识在家庭生活中的一些妙用.

一、电视机屏幕有多大

例1 如图1所示，小明家买了一台74cm的电视机，电视机的长为xcm，宽为ycm（包括边缘部分），屏幕外边缘部分长的方向厚度为8cm，宽的方向厚度为4cm，求屏幕的面积.

【分析】根据题意，屏幕的面积即为图中的阴影部分的面积.我们可以先计算出长为y，宽为8的两个长方形的面积，和长为x，宽为4的两个长方形的面积，然后计算重叠部分的面积.

解：屏幕的面积为（xy-8x-16y+128）cm2.

【说明】用这种方法计算屏幕的面积时，忘记加上重叠部分的面积是最常见的错误之一.

二、心跳速率知多少

例2 人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关.如果用a表示一个人的年龄，用b表示正常情况下这个人运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么b

=0.8（220-a）.

（1） 正常情况下，14岁的小明在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？

（2）小明的爸爸今年50岁，运动时10s内心跳次数为20次，他有危险吗？

【分析】本题实际上是一道代数式求值题.（1）只要把a=14代入b=0.8（220-a）即可；（2）分别求出50岁的人运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数和这个人实际每分钟心跳的次数，将二者进行比较即可判断.

解：（1）当a=14时，b=0.8（220-a）=164.8≈164（次）.所以14岁的小明运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是164次；（2）当a=50时，b=0.8（220-a）=136（次）.而小明的爸爸实际每分钟心跳的次数为20×6=120（次）.由于120<136，所以小明的爸爸按照这种情况运动应没有危险.

【说明】在进行锻炼时要注意安全，切不可适得其反.这里（1）中只能用去尾法取近似数，否则就不安全了.

三、建筑材料如何算

例3 （1）小明家住房的平面图如图2所示，其中卫生间、厨房准备用同一种瓷砖铺，则需要铺设瓷砖的面积和是（ ）.

A. 4xy B. 3xy

C. 2xy D. xy

（2） 小明家住房的窗户形状如图3，上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，试计算窗户的面积及窗框的总长，并求当a=50cm时，窗户的面积及窗框的总长的值分别是多少？（结果精确到0.1cm）

【分析】（1）结合图形，分别计算出卫生间和厨房的长和宽，然后算出面积的和；（2）窗户包括两大部分，上面是半圆，其半径是a，下面四个正方形，因此，窗户的面积=半圆的面积+4个正方形的面积，窗框的总长是所有框架的长，即半圆弧长加上15条等线段的长.

解：（1）卫生间的长为4x-2x-x=x，宽为y，因此面积为xy；厨房的长为4y-2y

=2y，宽为x，因此面积为2xy.所以面积的和是3xy，所以选B.（2）窗户的面积为4a2+■πa2，窗框的总长为15a+πa.当a=50cm时，窗户的面积是4a2+■πa2=4×502+■×3.14×502=13925.0cm2；窗框的总长为15a+πa=15×50+3.14×50=907.0（cm）.

【说明】这类计算问题，关键是找准所要计算的图形，不可重复，也不可遗漏.本题中，对半圆直径所在的两条线段或遗漏或重复是常见的错误.

四、手机话费怎样缴

例4 某通信公司为了鼓励多用手机，做出如下规定：每月通话时间60分钟之内（含60分钟），每分钟0.2元，超出部分每分钟0.1元.小明的爸爸某月通话时间为a分钟（a>60），请你帮他算算应付多少钱？

【分析】由于小明的爸爸通话时间超出60分钟，所以他的话费应分两段缴纳，60分钟的话费为60×0.2=12（元），超出部分的话费为0.1×（a-60）=0.1a-6，再把它们加起来即为应缴的话费.

解：应缴的话费为0.1×（a-60）+60

×0.2=（0.1a+6）（元）.

【说明】分段缴费问题是生活中最常见的问题，在解决这类问题时，不同区间内的收费标准是不一样的，切不可“张冠李戴”.

五、水（电）费分段算

例5 某市为鼓励市民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月用水不超过15m3，则每立方米按a元收费；若超过15m3，超过部分按每立方米2a元收费.小明的奶奶家一月份用水35m3，请你帮小明的奶奶算算，这个月她应缴水费多少元？

【分析】小明的奶奶家一月份用水35 m3，超过了15m3，所以水费应分两部分计算，其中15m3部分每立方米按a元收费，即为15a元；超过部分为35-15=20（m3），每立方米按2a元收费，即为40a元.两部分相加就是小明的奶奶家一月份应缴的水费.

解：小明奶奶家一月份应缴水费为15a+2a（35-15）=15a+40a=55a（元）.

【说明】这也是分段收费问题，要注意弄清不同的收费标准，正确计算.

六、赚赔算算就知道

例6 小明的妈妈下岗后再就业，做起了小商品生意.第一次进货时，她以每件a元的价格购进20件甲种小商品，以每件b元的价格购进30件乙种小商品（a>b）.回来后，根据市场行情，她将这两种小商品都以每件■元的价格出售.小明的妈妈问小明，在这次买卖中，她（ ）.

A.赚钱 B.赔钱

C.不赚不赔 D.无法确定赚还是赔

【解析】甲种小商品成本为20a元，卖出价钱为（10a+10b）元；乙种小商品成本为30b元，卖出价钱为（15a+15b）元.（10a

+10b）+（15a+15b）-20a-30b=5a-5b=5（a

-b），因为a>b，所以a-b>0，即5（a-b）>0，即小明的妈妈在这次买卖中赚钱了.选A.

【说明】本题属于商品利润问题，只要我们借助数学知识算一算，结论便一目了然.

七、选择哪种方案好

例7 某市电话拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一.

A：计时制：0.05元/分；

B：50元/月（限一部个人住宅电话上网）.此外，每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分.

（1）某用户某月上网的时间为x小时，请写出两种收费方式下该用户应该支付的费用.

（2）如果某用户估计一个月上网的时间为25小时，你认为选择哪种方式合算？

（3）上网时间为多少时，两种收费方式的费用一样？上网时间为多少时，选择包月制方式合算？上网时间为多少时，选择计时制方式合算？

【分析】要判断选择哪一种上网收费方式比较合算，就需要设定某用户某月上网时间，写出两种收费方式下该用户应支付的费用，再根据某用户一个月内上网时间确定采用哪种方式合算.要使两种收费方式的费用一样，可以通过简易方程求解.

解：（1）计时制每小时收费3元，通信费每小时1.2元，设某用户某月上网时间为x小时，则按照A方式，每月要收费（3

+1.2）x=4.2x（元）；按照B方式，每月要收费（50+1.2x）（元）.（2）当x=25时，按照A方式，每月要收费4.2x=4.2×25=105（元）；按照B方式，每月要收费50+1.2x=50

+1.2×25=80（元），所以选择包月制方式合算.（3）要使两种收费方式的费用一样，则有4.2x=50+1.2x，解得x=■，即上网时间为■小时时两种方式的费用相同；上网时间大于■小时时，选择包月制方式合算；上网时间小于■小时时，选择计时制方式合算.

【说明】计算通讯费用是我们经常遇到的问题，有了数学知识这些问题就迎刃而解了.