用整式加减的知识解决实际问题

整式加减是代数运算的基础知识，应用整式加减的有关知识可以解决日常生活中的许多问题.现举几例说明.

例1 小明在某商场工作的爸爸告诉小明：他们商场进了某种商品，设想按照进价提高40%后销售，但销售的情况很不好，结果大量积压，因此准备按售价的60%出售，并问小明这样出售该种商品是亏了还是赚了？

【分析】出售该种商品是亏还是赚，需要比较实际售价与进价的大小.

解：根据题意，设进价为a元，则实际出售的价格为：a（1+40%）·60%，即■a元，因为■a

【说明】对于商品销售中的亏与赚问题，常常需要列出实际售价与进价的代数式，再通过比较代数式值的大小来得到结论.

例2 小明所在的七年级（2）班3位老师决定带领全班a名同学（a不少于3）在“十一”期间去南京旅游.春光旅行社的收费标准为：教师全价，学生半价；而华夏旅行社的收费标准为：不管教师还是学生一律八折优惠.这两家旅行社的票价都是500元/人.小明想：到底选择哪一家旅行社较为合算？

【分析】到底选择哪一家旅行社合算，要通过列代数式，用求差法比较，并注意到题目中a≥3的条件，就可以得到结论.

解：春光旅行社的收费标准为：教师全价，学生半价，即教师每人500元，学生每人250元，春光旅行社的总费用为500 ×3+500a×0.5=1500+250a（元）；华夏旅行社的收费标准为一律八折，即每人票价为500×0.8=400（元），华夏旅行社的总费用为（3+a）×500×0.8=1200+400a（元）.（1200

+400a）-（1500+250a）=150a-300.又a≥3，所以150a-300>0，即1200+400a>1500+250a，因此选择春光旅行社较为合算.

【说明】这是一个生活中的决策类实际问题.解决问题的思路是先通过列代数式建立春光旅行社和华夏旅行社收费标准的数学模型，再应用整式加减的知识对这两个数学模型进行求差运算，借助于a≥3的条件，确定差的性质符号，进而得到结论.当然，比较两个数学模型在a≥3的条件下的大小方法不唯一，你还有其他比较大小的方法吗？写出来与你的同伴交流.

例3 宜兴是有名的陶都.周末小明陪爸爸去陶瓷商城购买一些茶壶和茶杯，了解情况后发现甲、乙两家商店都在出售同样品牌的茶壶和茶杯，定价相同：茶壶每把定价30元，茶杯每只定价5元，且两家都有优惠：甲店买一送一大酬宾（买一把茶壶赠送茶杯一只），乙店全场9折优惠.小明爸爸需茶壶5把，茶杯x只（x不少于5）.

（1）若在甲店购买，则总共需要付多少元？若在乙店购买，则总共需要付多少元？（用含x的代数式表示并化简）

（2）当需购买15只茶杯时，请你去办这件事，你打算去哪家商店购买？为什么？

（3）当购买茶杯多少只时，两种优惠办法付款一样？

【分析】（1）由题意可知，在甲店买一把茶壶赠送茶杯一只，故需付5只茶壶的钱和（x-5）只茶杯的钱，已知茶壶和茶杯的价格，可列出付款额的关于x的代数式；在乙店购买全场9折优惠，同理也可列出付款额的关于x的代数式；（2）当x=15时，将其代入两个代数式，比较得出的代数式值，哪家小就在哪家买；（3） 若两种优惠办法付款额一样，则两式子的值相等，即两个代数式值的差为0，计算出x的值即为需购买茶杯的数目.

解：（1）若在甲店购买茶杯x只，因为在甲店买一把茶壶赠送茶杯一只，且茶壶每把M4cpOSZOfLxXyZxuIeRHRA==定价30元、茶杯每只定价5元，则买茶壶5把需要150元，同时得到赠送的茶杯5只，所以只需要买（x-5）只茶杯，即需要5（x-5）元，这样总共需要付150+5（x

-5）=（5x+125）元；若在乙店购买茶杯x只，则买茶壶5把需要5×30×0.9=135（元），买茶杯x只需要5x×0.9=4.5x（元），这样总共需要付（4.5x+135）元；（2）当需购买15只茶杯时，在甲店购买需要付5×15+125=200（元），在乙店购买需要付4.5×15+135=202.5（元），因为200<202.5，所以在甲店购买便宜，故选择甲店购买；（3）若要在两店付款一样，则两式子的值相等，即两个代数式值的差为0，所以有（5x+125）-（4.5x+135）=0，去括号得5x+125-4.5x-135=0，合并同类项得0.5x-10=0，解得x=20， 所以购买20只茶杯时，两种优惠办法付款一样.

【说明】本题是一个常见的市场经济类问题，购买物品总是越省钱越好，因此就出现对各个商家提出的供货方案的比较问题.灵活运用代数式的知识可以较好地解决这些问题，所以说代数式是刻画实际生活问题的一个有效模型.

例4 小明与小亮玩扑克牌游戏.小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作.第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌现有的张数相同；第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆.这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数.你认为中间一堆牌现有的张数是 .

【分析】因为第一步各堆牌的张数相同，所以可设为n张，则第二步后左堆有（n-2）张，中间堆有（n+2）张；第三步后，中间有（n+2+1）张；第四步中间堆有（n+3）

-（n-2）=5（张）.

解：5.

【说明】这是一个生活中常见的游戏问题，初看上去过程比较复杂，利用代数式来表示每一步的变化情况，通过代数式的运算就能够轻松获得答案.