“数”“形”结合妙处多

数学是一门研究“数”与“形”的学科，“数”与“形”有着密切的联系.我们常常用代数的方法去处理几何问题，也经常借助于几何图形来解决代数问题，这种“数”与“形”之间的相互应用是一种重要的数学思想方法——数形结合.它可以把原来抽象的“数”借助直观的“形”来阐明中间的复杂关系，即“以形助数”；也可以把原来变化莫测的“形”用“数”来说明其中的内在规律.这样可以帮助我们将抽象问题直观化，复杂问题简单化，从而达到优化解题途径的目的.下面我们就一起见证“数”“形”结合的妙处吧！

一、以“形”助“数”，数形结合

由于“数”和“形”是一种对应，有些数量比较抽象，我们难以把握，而“形”具有形象、直观的优点，能从复杂的数量关系中凸显最本质的特征，因此我们可以把“数”的对应——“形”找出来，利用图形来解决问题.

例1 A、B两点在数轴上，点A对应的数是2.若线段AB的长为3，则点B对应的数是 .

【分析】如果从“数”的角度思考，往往会漏解.由于数轴上的点与有理数有对应关系，不妨从“形”的角度分析，画出数轴并在数轴上找到点A的位置，根据线段AB的长度为3以及数轴可知，点B可以在点A的左边也可以在点A的右边，从而确定点B 对应的数.

【解答】由数轴（如图1所示）分析可知：点B对应的数是-1或5.

【说明】此题中巧妙地利用数形结合，将抽象的数的问题变为直观化的形的问题，为我们的解题提供了方便.

例2 y+1+y-2+y-3的最小值是 .（竞赛题）

【分析】显然此题我们若从“数”的角度考虑，则需要分类讨论，比较繁琐，因此我们不妨换一个角度，从“形”的方面来研究，让点A、B、C对应数轴表示的数-1、2、3，D点为数轴上的任意一点，它对应的数为y（如图2），要使得y+1+y-2+y-3的值最小，就是要使AD+DC+DB的值最小.为此，首先必须使得AD+DB的值尽可能地小.点D在线段AB上（包括端点），此时有AD+DB=AB=4，这样问题就转化为求AB+CD的最小值，所以当D与C重合时，AB+CD的值最小，即y=2时，y+1+y-2+y-3的值最小，最小值为4.

【解答】当y=2时，y+1+y-2+y-3的值最小，最小值为4.

【说明】绝对值的求和问题，常利用数形结合思想转化为数轴（直线）上的线段求和问题，解决起来显然要比从“数”的角度解决简单.

二、以“数”解“形”，数形结合

虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂 的“形”，不但要正确地把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算.

例3 有理数a、b在数轴上的位置如图3所示，则下列结论正确的是（ ）.

A.a+b>0 B.a-b>0

C.a·b>0 D.■>0

【分析】由数轴上表示有理数a、b的点的位置可知：a<0，b>0且a0，a-b<0，a·b<0，■<0.

【解答】选A.

【说明】显然本题需要根据数轴上点的位置挖掘隐含的条件，从“数”的角度去看“形”，通过数形结合巧妙地解决问题.

例4 有理数a、b、c在数轴上的位置如图4所示，试化简a+c-a+b+c-b-a+b+c.

【分析】根据绝对值的性质我们知道，要想化简绝对值就必须先判定a+c、a+b+c、b-a、b+c的正负，然后求绝对值，合并.显然根据数轴与有理数之间的对应关系，可以很清楚地判断a、b、c的正负情况以及它们的绝对值的大小情况，从而根据有理数的加法以及减法法则进一步判定a+c、a+b+c、b-a、b+c的正负，从而再根据绝对值的性质解决问题.

【解答】由数轴可知：a>0，ca>b，可得： a+c<0，a+b+c<0，b-a<0，b+c<0.则原式=-（a+c）+（a+b+c）+（b-a）-（b+c）= -a-c+a+b+c+b-a-b-c=-a+b-c.

【说明】化简含绝对值的代数式，是比较典型的利用数形结合思想解决的问题.首先应结合数轴，判断出绝对值内代数式的正负，再去掉绝对值符号，合并同类项化简.

我国著名数学家华罗庚先生说过，“数无形时不直观，形无数时难入微”，说明数和形是相互依赖的，所以研究数量关系时，要联系图形，研究图形时，常常将其量化，通过形象思维这个中间环节提高抽象思维的能力，加深对某些抽象关系的理解能力，同时也能使解题手段从“单一”走向“灵活”，培养思维的灵活性.因此同学们在学习中要不断加深对数形结合思想的理解，并加以灵活运用，使我们的数学学习更有意义.