整式的概念导学

整式的概念中主要包括单项式及其系数、次数，多项式及其项数、次数，整式及其分类.下面对这些知识点进行分析，供同学们学习时参考.

一、单项式及其系数、次数

1.单项式的概念：像式子4x、ab、x2、-m等，它们都是数与字母的积，这样的式子叫做单项式. 单独一个数或字母，如-2、a等，都是单项式.由这个概念可以知道，一个单项式由数字因数和字母因数两个部分组成.如-■a2b，其数字因数和字母因数分别为-■和a2b.这里的数字因数泛指有理数（或无理数），可以是正数，也可以是负数；字母可能有一个，也可能有多个.单项式中可以有除法运算，但除式中不能含字母，如■、■等都不是单项式.单项式中不能含有加减运算，如-■ab+1、■等都不是单项式.

2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数.单项式的系数是一个数，它包括性质符号.如-ab2的系数是-1，而不是1.系数是1或-1时，这个“1”一般省略不写，但不能认为没有系数或系数为0.对于某些单项式要先分解成数字因数和字母因数两部分，再确定其系数.如

-■，应先写成-■·x2y，可知其系数为-■，而不是-2、-■或-2π等.这里必须注意π是圆周率，应作为一个常数，是系数的一部分.

3. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数.确定单项式的次数要注意：（1）不要遗漏字母指数为1的指数，如单项式x3y是四次单项式，而不是三次单项式；（2）只有数字没有字母的单项式，叫做零次单项式（零除外）.

例1 （2012年南通）单项式3x2y的系数为 .

【解析】根据单项式系数的概念可知，单项式3x2y是数字因式3与字母因式x2y积的形式，其中数字因式即为单项式的系数，所以单项式3x2y的系数为3.

例2 （2012年上海）在下列代数式中，次数为3的单项式是（ ）.

A. xy2 B. x3+y3 C. x3y D. 3xy

【解析】根据单项式的有关概念可知：xy2是单项式，且它的次数为3，A符合题意；x3+y3不是单项式，B不符合题意；x3y的次数为4，C不符合题意；3xy的次数为2，D不符合题意.故选A.

二、多项式及其项数、次数

1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式，其含义有两点：一是多项式必须由单项式组成，二是多项式体现和的运算法则.如2-■中，-■不是单项式，因而2-■就不能归到多项式的行列中；又如■是单项式■与单项式■的和，所以■属于多项式.

2.多项式的项数：多项式中单项式的个数叫做多项式的项数，一个多项式含有几个单项式就叫做几项式，如a3-a2b2+b3是个三项式.

3.多项式的次数：对于多项式的每一项来说都有次数和系数的概念，如6x3+5x2

-2x从左到右分别是三次项、二次项、一次项，其系数分别为6、5、-2.对整个多项式而言，没有系数的概念，但有次数的概念.多项式的次数是指多项式中次数最高项的次数.如2x3y+xy2+8中，次数最高的项是2x3y，其次数是4，它又有三项，故它是四次三项式. 应注意：（1）每个多项式都有次数最高的项，且有时不止一项，如x3y-x2y2+3中，前两项都是次数最高的项，它们都是四次项；（2）多项式的项包括它前面的符号，如x3y-x2y2+3的第二项是-x2y2，而不是x2y2；（3）不含字母的项叫做常数项.

例3 （2012年湛江）多项式2x2

-3x+5是 次 项式.

【解析】多项式2x2-3x+5含3个单项式，次数最高项2x2的次数为2，所以是二次三项式，所以答案为：二，三.

三、整式及其分类

单项式和多项式通称为整式，整式的分类是以“是否有加减运算”为标准的，即以形式为依据来判断，不能以结果为依据来判断.

例4 下列式子哪些是多项式？是多项式的写出它的次数和所有的项.

（1）2+■；（2）x+y-x；（3）x4y-3x3y2+8.

【解析】（1）不是多项式，因为（1）中■不是单项式；（2）、（3）是多项式；多项式x+y-x是一次三项式，项分别是x、+y、-x；多项式x4y-3x3y2+8是五次三项式，项分别是x4y、-3x3y2、+8.

必须注意：单项式中不能含有加减运算，且分母中不能含有字母（π等常数除外）；多项式是由单项式组成的，但判断多项式只能看原始的式子，不可以进行运算后再判断：如将x+y-x化简为y后认为它是单项式，这是常见的错误.

整式的有关知识是学好其他知识的基础，同学们务必切实掌握、灵活运用.