“有理数”学习中常见错误辨析

2013-12-29 00:00:00荆春芳
初中生世界·七年级 2013年10期

有理数的有关概念和运算是初中数学的重要基础,也是中考必考的内容.从小学到中学,由于同学们认识的数与所学的知识发生“错位”,造成同学们在初学时错误百出,学习困难.下面列举一些常见错误,请同学们引以为戒.

一、 基本概念理解不到位,造成答题错误

例1 在下列实数中,

是分数.

-8,5.23,■,0,■,+3,0.3

【错误解答】5.23,■,■.

【错解成因】对分数概念的本质认识不够,看到小数和分数形式的数就认为是有理数.

【正确解答】5.23,■,0.3.

【方法规律】小数有有限小数、无限循环小数和无限不循环小数三类.对于任意有限小数和无限循环小数都可以化成分数,如0.3=■,它是分数;而无限不循环小数不能化成分数,所以无限不循环小数就不是有理数,如■,表面上是分数的形式,但实际上,■也是无限不循环小数,不是分数.

例2 如果-a=-a,下列成立的是 ( ).

A.a<0 B.a≤0 C.a>0 D.a≥0

【错误解答】A.

【错解成因】忽视了a=0这一结论.

【正确解答】B.

【方法规律】由a=a或a=-a成立,确定a的取值范围时,往往只考虑到a>0或a<0,而忽视了a=0这一结论.此题也可以根据a≥0,得-a≥0,从而a≤0.

例3 以下计算中:①(-3)4=-81;②■5=■=■;③-(-2)4=-16;④-■=-■.其中正确的有( ).

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【错误解答】D.

【错解成因】①、②两个计算的底数判断不清,造成运算错误.

【正确解答】B.

【方法规律】正确理解乘方的意义和识别底数是计算乘方的关键.同学们学习时要注意(-3)4与-34,■5与■意义的不同.

二、运算法则掌握不到位,造成计算错误

例4 计算:-12×■-■-1.

【错误解答】解:原式=-12×■-12×■-1=-9-2-1=-12.

【错解成因】运用乘法分配律运算时,常常会漏乘其中的某一个加数或者弄错符号.

【正确解答】解:原式=-12×■+(-12)×-■+(-12)×(-1)=-9+2+12=5.

【方法规律】运用乘法分配律计算时,可以把括号里的内容理解为省略加号和括号的和,然后把-12与括号的各个加数分别相乘,再把所得的积相加.

例5 计算-■÷■-■.

【错误解答】解:原式-■÷■--■÷■=-1+■=■.

【错解成因】错误地运用运算律.

【正确解答】解:原式-■÷■-■=-■÷■=-■×■=-3.

【方法规律】乘法分配律可以推广到除法中.当被除数是“和”的形式时,可以把除数分配给“和”中的每一个数;当除数是“和”的形式时,则不能把被除数分配给“和”中的每一个数.本题的正确的解法是先算括号内的运算.

三、其他错误

例6 若abc<0,试求■+■+■的所有可能值.

【错误解答】解:因为abc<0,所以a<0,b<0,c<0.所以原式=■+■+■=-1-1-1=-3.

【错解成因】思考问题不全面,片面地认为abc<0时,a、b、c全是负数.

【正确解答】因为abc<0,所以a、b、c的值可分为两正一负或三负两种情况.

(1)两正一负时,设a>0,b>0,c<0,则原式=■+■+■=1+1-1=1;

(2)三负时,即a<0,b<0,c<0,则 原式=■+■+■=-1-1-1=-3.

综上所述,■+■+■的值为1或-3.

【方法规律】正确运用分类思想是解题的关键.由abc<0可知其中负因数为奇数个,分为一个负因数和三个负因数的两种情况.另外,由式子■+■+■的特殊性(循环性),无论a、b、c中哪个的值为负,结果都是一样的,所以在计算时,我们不用再分a<0、b<0或c<0三种情况来讨论,只要假设其中的一种情况即可.

从上面的错误解析中可以看出,同学们要学好有理数这个单元的内容,必须真正理解有理数中各个概念的外延和内涵,对于计算题先要理清算理再进行计算,对于一些特殊的问题要学会运用分类讨论和数形结合等数学思想来解决问题.