“有理”与“无理”，“理”在哪里？

在“有理数”中我们将对小学中学过的数进行新的分类，并引入新的概念——“有理数”和“无理数”.那么同学们知道“有理”与“无理”的道理在哪里吗？下面我就带同学们一探究竟.

一、“有理数”和“无理数”名称的由来

在西方，人们将许多几何成就归功于毕达哥拉斯学派， 但其学派基本的信条却是“万物皆数”.对此， 其学派成员费洛罗斯曾明确宣称： 人们所知道的一切事物都包含数. 因此，没有数就既不可能表达、也不可能理解任何事物.这里所说的数指整数.分数被看成两个整数之比■（m、n是整数，n≠0）.毕达哥拉斯学派相信任何量都可以表示成两个整数之比（即某个有理数），在几何上这相当于说： 对于任何两条给定的线段， 总能找到第三条线段， 以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段.如：线段a=8，线段b=3，我们就可以找到第三条线段c=1，将线段a划分为8段，线段b划分为3段；若线段a= ■，线段b=■，我们就可以找到第三条线段c=■，将线段a划分为21段，线段b划分为16段.希腊人称这样的两条给定线段为“可公度量”.然而毕氏学派后来却发现： 并不是任意两条线段都是可公度的， 也有不可公度的线段， 如正方形的对角线和其一边构成不可公度线段. 由于毕氏学派关于比例定义假定任何两个同类量可通约， 比例理论中的所有命题都局限在可通约的量上， 因而他们关于相似形的一般理论就失效了.“逻辑上的矛盾”如此之大， 以至于有一段时间， 他们欲将此事保密， 不准外传.但是人们很快发现不可通约性并不是罕见的现象.毕氏学派的成员泰奥多勒斯发现， 面积等于3、5、6……17（4、9、16除外）的正方形的边与单位正方形的边也不可通约， 并对每一种情况都单独予以证明.希腊数学中出现的这一逻辑困难， 被称为数学史上的“第一次数学危机”.

无理数的发现， 暴露出有理数系的缺陷：一条直线上的有理数尽管“ 稠密”， 却有许多“孔隙”，且这种“孔隙”多得“不可胜数”.这样， 古希腊人把有理数视为是连续衔接的那种算术连续系统的设想， 就彻底破灭了.它的破灭，在以后两千多年时间里， 对数学的发展起到了深远的影响.不可通约的本质是什么？长期以来众说纷纭.两个不可通约量的比值得不到正确的解释，而被认为是不可理喻的数.15世纪达芬奇称其为“无理”的数， 开普勒称其为“不可名状的数”.这就是“无理数”名称的由来.

二、“有理数”与“无理数”的辨析

从无理数的产生过程我们知道了，那些可以写成分数形式■（m、n是整数，n≠0）的数是有理数，而a2=2中的a不能表示成■（m、n是整数，n≠0）的形式，我们把它称为无理数.但从小学学习中我们又知道数的分类还可以分为整数和小数，小数中又包括有限小数、无限小数，无限小数中又包括无限循环小数和无限不循环小数.这些数和“有理数”“无理数”有什么关系呢？

很显然，整数和有限小数都可以写成分数形式■（m、n是整数，n≠0），而无限循环小数呢？事实上，它也可以写成上述的分数形式.

例1 将循环小数0.6化为分数.

解：设x=0.6，则10x=6.6.而10x-x=6.6-0.6=6，即9x=6，所以x=■=■.

故0.6=■.

例2 将循环小数0.018化为分数.

解：设x=0.018，则1000x=18.018，所以1000x-x=18.018-0.018=18.

即999x=18，所以x=■=■.

故0.018=■.

从上面的两个例子，同学们是否感悟到：像0.6和0.018这样的纯循环小数化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，分母则由若干个9组成，9的个数为一个循环节的数字的个数.

那么对于0.123和1.0456这样的混循环小数呢？

我们可以将混循环小数先化为纯循环小数，然后再化为分数，例如：

0.123=■×12.3=■×（12+0.3）

=■×（12+■）=■，

1.0456=■×10.456=■×（10+0.456）=■×（10+■）=■.

由此可见：无限循环小数可以化为分数形式■（m、n是整数，n≠0），所以它是有理数.而a2=2中的a又是什么样的数？为什么它不能化为分数呢？

课本上小明和小丽分别从分数和小数的角度用逐步逼近的方法来帮助我们寻找a的值，依次有a不是■，■，■，■，■…1.4

因为有限小数或循环小数都可以化为分数，所以要解决这个疑问，关键还在于能不能化为分数形式■（m、n是整数，n≠0）.

在这里我们不妨假设a=■（m、n是整数，n≠0），且m、n互质（即m、n的公因数只有1），两边平方得：

a2=■2=■×■=■，因为a2=2，所以■=2，所以m2=2n2.

因为偶数的平方为偶数，奇数的平方为奇数，而2n2为偶数，所以m2为偶数，所以m为偶数，设m=2k （k为整数）.

则m2=（2k）2=2k×2k=4k2=2n2，

所以2k2=n2为偶数，所以n也为偶数.

所以m、n有公因数2，与m、n互质矛盾，所以假设不成立，a不能表示为分数形式■（m、n是整数，n≠0）.

（这里的说理方法称为反证法，是数学中一种特殊的证明方法，在今后的学习中同学们还会遇到哦.）

因为a不能化为分数形式，所以它既不是整数、有限小数，也不是无限循环小数，但它又是实际图形中存在的实实在在的数，因此它只能是无限不循环小数，所以我们把这样的无限不循环小数叫做无理数.小学中学过的π，0.1010010001…（每两个1之间的0依次递增一个）都是无限不循环小数，因此它们也是无理数.今后我们还会学到更多的无理数，它们在数轴上和有理数紧密依靠，共同铺满整个数轴.

从上面的探索过程中同学们是否了解了“有理数”和“无理数”中的“理”究竟是什么？对了，就是分数形式：■（m、n是整数，n≠0），能表示成分数形式的数就是有理数，反之像无限不循环小数这样不能表示为分数形式的数就是无理数.