“代数式”中的思想方法

数学思想方法是数学的灵魂，是解决数学问题的金钥匙.在“代数式”这一章中就有许多重要的数学思想方法需要我们去挖掘、提炼、应用，归纳起来主要有以下几点.

一、用字母表示数的思想

用字母表示数的思想，也就是代数思想.在具体问题中，用字母表示数往往具有以简驭繁、捷足先登之功效.

例1 计算2012×20142014-2014

×20122012= .

解：设a=2012，b=2014，

则原式=a（10000b+b）-b（10000a+a）

=10001ab-10001ab=0.

【点评】透过此例不难看出，运用字母表示数的思想解题，不仅思路简捷、过程明快，而且饶有趣味.

二、分类讨论思想

某些数学问题，涉及的概念、法则、性质、公式是分类给出的，或在解答过程中，条件或结论不唯一，会产生几种可能性，这就需要分类讨论，从而得出各种情况下的结论.这种处理问题的思维方法就是分类讨论思想.分类必须遵循下列两条原则：（1）每一次分类要按照同一标准进行；（2）分类要做到不重复、不遗漏.

例2 比较a+b与a的大小.

【分析】这里有两个字母，利用求差法先消去一个字母，再分类讨论.

解：因为a+b-a=b，所以，当b>0时，a+b>a；当b=0时，a+b=a；当b<0时，a+b

【点评】对于含有多个字母的代数式的大小比较问题，要设法转化为只含有一个字母的问题，然后按照字母取正数、零、负数三种情况进行讨论.

三、整体思想

整体思想是从整体入手，通过细心观察和深入分析，找出整体与局部的有机联系，从整体上把握问题，从而在宏观上寻求解决问题的途径.

例3 当a=2，b=3时，求代数式2（2a

-b）3-（2a-b）2+8（2a-b）的值.

【分析】先求出2a-b的值，然后整体代入比较简捷.

解：因为a=2，b=3，所以2a-b=1，原式=2×13-12+8×1=9.

【点评】这是课本第77页的习题3.3第1（8）题，直接代入比较复杂，这里运用整体思想，减少了计算量.

四、逆向思维的思想

去括号与添括号、合并同类项与拆项等，都渗透着一种重要的数学思想方法——逆向思维，它有利于创新思维的培养.

例4 已知x2+x-1=0，求代数式2x3

+4x2+3的值.

【分析】逆向应用合并同类项的法则进行拆项，转化为含x2+x-1的式子，再整体代入.

解：因为x2+x-1=0，所以2x3+4x2+3

=（2x3+2x2-2x）+（2x2+2x-2）+5=2x（x2+x-1）+2（x2+x-1）+5=0+0+5=5.

【点评】求出x的值再代入求值是不明智的选择，且我们现在还不会由x2+x

-1=0求出x的值.这里将求值式通过拆项转化为含有代数式x2+x-1的形式，再将x2+x-1=0整体代入变形后的求值式计算，十分简捷.

五、特殊化思想

用字母表示数的思想是从特殊到一般，反过来，令字母为一些特殊值，即从一般到特殊，这就是特殊化思想.

例5 已知-1

A. a+b B. a-b C. a+b2 D. a2+b

【分析】在-1

解：由-1

【点评】在取特殊值时，要注意两点：一是所取的特殊值要使所有的代数式有意义；二是在满足条件的范围内，所取的值要使运算简便.

六、实验、观察、猜想、论证的思想

例6 观察图中的（l）至（4）中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n个图中小圆圈的个数为m，则m= （用含 n 的代数式表示）.

【解析】本例的解题目标是求出第n个图形中有多少个小圆圈，为此我们在给出的4个图形中探究规律，看看哪些是不变量，哪些是变量，变量的变化规律是什么.在已知的4个图形中，前面的5个圆圈是不变量，变化的是后面的圆圈.它们的数量分别是：第1个图形多出0×3个圆圈，第2个图形多出1×3个圆圈，第3个图形多出2×3个圆圈，第4个图形多出3×3个圆圈，…，以此类推，第n个图形多出（n-1）×3个圆圈，故第n个图形中共有[5+（n-1）×3]（即3n+2）个圆圈，因此应填3n+2.

【点评】实验是基础，在实验中要注意分析和观察规律；观察是关键，在观察中要透过现象看本质，从特殊中找出一般；猜想是核心，会推理判断，能归纳猜想，就能有所发现；论证是结果，是对实验、观察、猜想的科学总结.