由近及远“看”例题

一道好的例题具有基础性、指导性、典型性、示范性、拓展性，是课本的精髓，它一方面加深了同学们对概念、知识的理解，另一方面也是培养同学们诸多能力的重要载体.同学们在学习的过程中应最大限度地发挥它的引领和辐射作用，巩固基础，举一反三，形成知识网络，获得数学思想方法.

题目1 （《苏科版（数学）》七年级上册P27例5）求下列各数的绝对值：

+6，π，-3， -2.7，0.

解答略.

绝对值是初中数学中一个非常重要的概念，对刚进中学的同学来说也是个难以理解的概念.正确地求一个数的绝对值，要经历“判断——选择——确定”的过程.判断，即先判断这个数是正数还是负数或零；选择，即根据这个数的性质选择相应的法则；最后根据选定的法则来确定这个数的绝对值.此题可做如下拓展：

例1 如果a、b、c是非零有理数，求■+■+■的值.

【解答】此题主要考查绝对值的意义. 因为a、b、c是非零有理数，可以为正也可以负，所以它们的绝对值有两种情况，或者是它们的本身，或者是它们的相反数. 此题可分为以下四种情况求值.

当a、b、c的绝对值都取本身时，原式=3.

当a、b、c的绝对值有两个取本身时，原式=1.

当a、b、c的绝对值有一个取本身时，原式=-1.

当a、b、c的绝对值都取相反数时，原式=-3.

例2 有理数a、b、c在数轴上的位置如图1所示，化简c-b+a-c+b-c.

【解答】此题的难点是对c-b的化简，可用两种方法化简.

方法一：由数轴可知c

方法二：c-b可看做数轴上表示c、b的两点间的距离，因此c-b=b-c=b-c.原式=b-c+a-c+b-c=a+2b-3c.

【说明】通过对上述例题的延伸与拓展，使同学们在不断的引申、转换、综合中更深刻地理解绝对值的相关知识，掌握规律，培养举一反三、触类旁通的能力.

题目2 （苏科版（数学）七年级上册P38例7）巡道员沿一条东西向的铁路进行巡视维护.他从住地出发，先向东走了7 km，休息之后又向东走了3 km，然后折返向西走11.5km.此时他在住地的什么方向？与住地的距离是多少？

【简解】将铁路看成数轴，巡道员的住地看成原点，规定向东为正，根据题意，可得（+7）+（+3）+（-11.5）=-1.5，所以此时他在住地的西边，离住地1.5 km.

本题从生活情境出发，提出问题，把实际问题转化为数学问题，利用数轴将形和数结合，用数学符号表示数学问题中的数量关系，轻松求出结果，同时让同学们感受有理数运算法则的合理性.此例题给我们提供了用数形结合来解题的范例.数轴在数与形之间起着中转站的作用，它是研究数学问题的一个重要工具.它是数和形结合的起点，不仅使数与直线上的点建立了一一对应的关系，而且还揭示了数与形之间的内在联系.对于某些代数问题，若能灵活运用数轴这个工具，不仅能化难为易，化繁为简，化抽象为具体，而且解法直观、明快.下面从几道例题来谈谈数轴在代数问题中的妙用：

1.运用数轴进行有理数大小的比较

例3 已知a>0，b<0，且b>a，试比较a、-a、b、-b的大小.

【分析】若直接比较上述4个数的大小有一定的难度；若把它们在数轴上表示出来，利用数轴的直观性，它们的大小关系将一目了然.

【解答】∵a>0，b<0，

∴在数轴上表示数a，b的点分别在原点的右边和左边.

∵b>a，所以表示数a的点到原点的距离小于表示数b的点到原点的距离.

∴a、-a、b、-b这4个数在数轴上的排列顺序如图2所示.观察数轴可知b<-a

【说明】解决此题时，要注意数a表示有理数，可以是正数，可以是负数，也可以是零，不能认为数a一定是正数，-a一定是负数.本题巧妙地用数轴实现了数与形的结合.

2.运用数轴解决动点问题

例4 一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离O点的距离是 个单位.

【分析】本题若从“数”的角度考虑显然是较为复杂的，其中涉及方向和距离，而数轴恰好是刻画方向和距离的最有用的工具，因此可以将这个跳蚤跳动的次数与位置借助数轴表示，从而解决问题.

【解答】将这个跳蚤跳动的次数与位置借助数轴来表示（如图3所示），以O点为原点，原点向右为正方向.第1次向右跳1个单位，其位置表示的数为1；紧接着第2次向左跳2个单位，其位置表示的数为

-1；第3次向右跳3个单位，其位置表示的数为2；第4次向左跳4个单位，其位置表示的数为-2.依此规律跳下去，第6次，第8次，其位置表示的数为-3，-4.第100次跳后落下，其位置表示的数为-50，故此时落点处离O点的距离是50个单位.

【说明】借助数轴，将跳蚤的落点分别用正数和负数表示，可巧妙地求出跳蚤跳第n次落地时，落点处离O点的距离.

波利亚说：“中学数学教学的首要任务是习题教学.”在数学学习中，同学们要注重发挥教材中例题的作用，学会通过适量的习题拓展，达到最大限度的提升，这对同学们理解和掌握数学基础知识、培养数学思维、发展智力都是至关重要的.