有理数的核心概念解读

数及其运算是中小学数学课程的核心内容.在小学里同学们已经学会了自然数、正分数及其运算.本章是在小学内容的基础上，借助对具有相反意义的量的讨论，引入负数、有理数、无理数、数轴、相反数、绝对值等一系列概念.本章的知识和思想方法是后续学习的重要基础，为使同学们真正理解和掌握有理数的基础知识，培养运算能力，增强数感和符号意识，有必要对有理数这一章的核心概念作进一步解读.

一、正数与负数

1.对正数和负数的认识

生活中经常遇到零上与零下、向左与向右、前进与后退、上升与下降、收入与支出等许多具有相反意义的量，为了在数学上正确表示这些相反意义的量，我们引入正数和负数.

引入负数是实际的需要，也是数学内部知识发展的需要.同学们可以从学习过程中体会根据实际和数学发展需要引入新数的好处.

用正数和负数表示现实生活中具有相反意义的量，体现了数学运用的广泛性，更重要的是引入负数可以使小学讨论的问题大大简化，例如我们把“少5个”理解成“多-5个”，就可以将小学讨论盈亏问题时“盈盈”“盈亏”“亏亏”3种情况统一成一种情况.

2.对正数和负数概念的理解

正数：像+1.6、+20、+130、+80%等带“+”号的数叫做正数，正数加上“+”号表示强调，也可以省略不写.

负数：像-12、-326、-60、-0.8、-68%等带有“-”号的数叫做负数.而负数的“-”号不能省略.

零既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点.

对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“-”号的数是负数.例如-a不一定是负数，因为字母a代表任何一个有理数.当a是正数时，-a是负数；当a是0时，-a是0；当a是负数时，-a是正数.正数与负数能表示相反意义的量，习惯上把增加、盈利等规定为正，它们相反意义的量规定为负，正、负是相对而言的.

二、有理数和无理数

1.对有理数概念的理解

我们把能够写成分数形式■（m、n是整数，n≠0）的数叫做有理数，整数、有限小数和循环小数都能化为分数的形式，它们是有理数.整数包括三类：正整数、零和负整数.分数包括两类：正分数和负分数.

引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大为整数.整数也可以分为奇数和偶数两类：能被2整除的数是偶数，如…-6，-4，-2，0，2，4，6…；不能被2整除的数是奇数，如…-5，-3，-1，1，3，5….

有理数可以按两个标准进行分类：（1）按整数和分数的关系分类；（2）按正数、负数和零的关系分类.

2.对无理数概念的理解

无限不循环小数叫做无理数，无理数不能写成分数■的形式.

（1）无理数应满足的条件：①是小数；②是无限小数；③是不循环小数.

（2）本章无理数的表现类型：①π型，如0.6π、3π等；②小数型，如0.101 001 000 1…，2.383 883 888 388 88…；③描述型，如面积为2的正方形的边长a等.

3.有理数与无理数的主要区别

有理数包括有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数.所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数的形式.

三、数轴

1.对数轴的认识

数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.

数轴的画法：①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为-1，-2，-3，….如图1所示.

2.对数轴的理解

概念的理解：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小都是根据实际需要而定的.

数轴是数形结合思想的产物.用数轴上的点可以直观地表示有理数，为我们理解相反数和绝对值提供了直观工具，同时为学习有理数的运算法则作了准备.我们借助图形能直观地确认有理数和无理数都可以在数轴上表示，数轴上的点都表示一个有理数或一个无理数，从而使我们了解数轴上的点与有理数和无理数是一一对应关系，并为有理数的相反数和绝对值的学习做了铺垫.

四、绝对值和相反数

1.对绝对值的认识和理解

绝对值的几何定义：在数轴上，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值，记作a.

绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

绝对值的概念是借助距离的概念加以描述的.在数轴上，一个点由方向和距离（长度）确定；相应地，一个数是由符号和绝对值确定.这里“方向”和“符号”对应，“距离”和“绝对值”对应，又一次体现了数形的结合、转化.所以，绝对值的概念既可以促进对数轴概念的理解，也可以进行数的大小比较，同时也是数的运算的基础.

注意：（1）绝对值的求法：先判断这个数是正数、负数还是零，再根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号；（2）绝对值的非负性：无论是绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义都揭示了绝对值的重要性质——非负性.也就是说，任何一个有理数或一个无理数的绝对值都是非负数，即a≥0.

2.对相反数的认识和理解

相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数.规定零的相反数是零.

从数轴上看，表示互为相反数的两个数，分别位于原点的两侧（零除外，零和它的相反数都在原点），且与原点的距离相等.如图1，4与-4互为相反数.

相反数是成对出现的，不能单独存在，如+3与-3互为相反数，说明+3的相反数是-3，-3的相反数是+3，单独一个数不能说相反数；“只有”的含义说明像+2与-3这样的两个数不是互为相反数.

引入相反数，一方面可以加深对相反意义的量的认识，另一方面可以为学习绝对值和有理数的运算做准备.

五、非负数和非正数

若数a≥0，则称a为非负数.

非负数的性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0.例如：若m、n满足m-3+（n+2）2=0，则m-3=0，n+2=0，即m=3，n=

-2.

与其相对应的还有非正数，若数a≤0，则称a为非正数.

六、倒数

乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数.

倒数的求法：求一个数的倒数，直接可以把这个数作为分母、作为分子，写成分数；求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒即可；求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数，再将分子、分母颠倒；求一个小数的倒数，应先将小数化成分数，然后再求倒数.

只有零没有倒数，其他任何数都有倒数.正数的倒数为正数，负数的倒数为负数，求一个数的倒数不改变它的符号.

七、数的大小的比较

利用数轴比较大小：数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，故有：正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数.例如：图1中表示2的点在表示-3的点的右边，则2>-3；也可由2是正数，-3是负数判断出2>-3.

任意数大小的比较法则：正数都大于零，负数都小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.例如：比较两个负数-3.6和-2.8的大小的步骤是：首先分别求出两个负数的绝对值-3.6=3.6，-2.8=2.8；再比较两个绝对值的大小3.6>2.8；最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确判断：-3.6<-2.8.

以上是“有理数”这一单元中的一些重要的核心概念，它们是奠定整个中学数学的核心基础.希望同学们要认真学习、正确理解、灵活运用，为自己今后的发展奠定厚实的基础.