例说函数思想的数学价值

中学数学教学中，函数是一种重要的思想方法，很多问题包含着这一思想，但常常被忽视。有些问题如能根据问题的形式，构造出相应的函数，然后运用函数的某些性质来解答问题，学生会感到很新奇。如果我们能够在教学中加以恰当运用，便会体现出它的教学价值——对提高学生的思维能力很有益处。

一、由结构考虑建立函数模型，锻炼思维的深刻性

例1：已知a、b、m∈R+且a

观察两边结构，右边是左边当m=0时的情况。因此，我们考察函数f（x）= = =1+ （x≥0）. m>0时，有f （m）>f （0），即 > ，这是高二数学课本的例题。对比书上给出的证明（作差通分），学生会认识到这是函数单调性的问题。

例2：证明 + < + .

这是作为分析法应用的典型例子，易于学生掌握这种方法的特点和步骤。当然，我们可以启发学生展开思维，对原式进行移项来代替平方变形，只需证： - < - ，分子有理化后得： < ，因为两边都是正数，故只需证： + > + ，而此式显然成立。

上述解法应用了分子有理化技巧，这是处理带有根号问题常用的办法，也可以作为证明此类不等式的一种模式考虑。但这种证法的思维仍表现为简单的变形和技巧的应用，课本上多次出现这种不等式。

① - < - 、② - < - 、③ - < - . 可以引导学生，观察它们的结构特点：结构相同且呈现一种单调递减性。由例1的启示，可判断此类不等式是一种减函数单调性的反映。设f（x）= = - （x>1），将分子有理化，得f（x）= （x>1）. 这显然是减函数。至此，发现了这类不等式的本质。它实际上被函数f（x）= 的单调性所决定。

学习数学的目的，是对事物进行抽象分析，揭示更普遍、更深刻的规律。经常进行类似思维训练，有利于培养学生思维深刻性。

二、构造常见函数，培养思维的灵活性

中学阶段常见一次函数和二次函数。有些问题在没有明显的结构特征时，可以考虑这两种函数。

例1：试证明：a、b、m∈R，|a|<1 ，|b|<1 ，|c|<1，则ab+ac+bc+1>1.

分析：由于题设与结论都是一次式，所以考虑构造一次函数。证明：设f（x）=b+cx+bc+1，x∈（-1，1）x. 当b+c=0时，原不等式变为左=bc+1，∵|b|<1、|c|<1，∴|bc|<1，∴bc+1>0. 当b+c≠0时，由一次函数的单调性，考察：f（1）=b+c+bc+1=（1+b）（1+c）>0，f（-1）=-b-c+bc+1=（1-b）（1-c）>0，∴任意a∈（-1，1）有f（a）>0，即ab+ac+bc+1>1. 点评：建立函数后，要想到与题目有关的函数的性质及应用。

例2：设A、B、C为三角形内角，x，、y，、z为任意实数，求证：x2+y2+z2≥2yzcosA+2xzcos+2xycosC.

证明：设f（x）=x2-2x（zcosB+ycosC）+y2+z2-2yzcosA，△=4（zcosB+

ycosC）2-4（y2+z2-2yzcosA）=4（z2cos2B+y2cos2C+2yzcosBcosC-y2-z2+2yzcosA）=4[-Z2sin2B-y2sin2C+2yzcosBcosC-cos（B+C）]=-4（Z2sin2B+y2sin2C-

2yzsinBsinC）=-4（ZsinB-ysinC）2≤0，∵f（x）的二次项函数为1，且△≤0，∴f（x）≥0恒成立，故原不等式成立。点评：这道题使学生能进一步体会到掌握这种思维方法的必要性，同时也强化了学生注意知识间相互联系的意识。

由上述例子可以看出，运用函数思想不仅使问题易于解决，更重要的是有利于培养学生的思维品质，领悟数学思想和方法，认识知识间的联系，体会数学是客观世界的形式和结构的本质反映。