数轴在不等式(组)中的重要作用

2013-12-29 00:00:00虞秀玲
成才之路 2013年10期

数轴形象地反映了数与形之间的对应关系,是数与形的统一,是实现数形结合解决数学问题的桥梁。它不仅可以帮助学生直观地理解有关抽象的数学概念,还可以运用它来解决许多数学问题。本文就数轴在不等式(组)中的重要作用,谈一谈自己的体会。

一、借助数轴理解不等式(组)的解集的概念

把不等式(组)的解集在数轴上熟练地表示出来,是教学不等式(组)的一个基本要求,也是一个必不可少的步骤。不仅可以让学生直观地感受到不等式(组)的解的个数的无限性,深刻理解不等式(组)“解集”的概念,也为求解一些涉及字母问题的不等式(组)做好铺垫作用。

二、借助数轴,准确求解含字母系数的不等式组

例1:已知m为任意实数,求不等式组1-x<3x

分析:由不等式1-x<3化简得x>2,先在数轴上表示,如图(1)。接着,在上面的数轴上表示出解集x2,m>4时,该不等式组的解集为2

例2:已知m为任意实数,求不等式组x>2x<5x

分析:和例1相比较,该不等式组中不等式的个数增加到3个,需求出这3个不等式解集的公共部分,情况更为复杂,此时借助数轴更能起到化抽象为直观的简便作用。先在数轴上表示出第一、二两个不等式解集的公共部分,如图(2),再借助数轴可直观地发现当表示数m-2的点在表示2的点上或左边,即m-2≤2, m≤4时,三个不等式的解集没有公共部分,原不等式组无解;当表示数m-2的点在2和5之间,即2

三、巧用数轴,求解不等式(组)中的待定字母值

根据条件,求解不等式(组)中的待定字母值是本章中的难点之一,大部分学生不易理解,容易出错。若能巧借数轴,不仅能使该难点迎刃而解,也能让学生体会到数轴的实用价值。下面举例加以说明:

(1)根据不等式的解集求值。

例3:关于x的不等式组2x-1<3(x-1)x

分析:由不等式2x-1<3(x-1)化简得x>2,先在数轴上表示,如下图(1)。接着,在上面的数轴上表示出解集x

(2)根据不等式恒成立的条件求值。

例4:不等式x+2m≥m 对于x≥-2恒成立,求m的取值范围。

分析:解答本题,须弄清题意,即不等式x+2m≥m对于x≥-2恒成立,说明不等式x+2m≥m解集包含 x≥-2的范围。解:由x+2m≥m 得x≥-3m,又据题意知x≥-3m包含x≥-2,故可作如图A所示数轴,易知-3m≤-2,即m≥ 。

(图A) (图B)

本题通过数轴,直观地展示了不等式解集之间的包含关系,有助于顺利求出待定字母的范围。

(3)根据不等式(组)的整数解求值。

例5:如果关于x的不等式3x-m≤0的正整数解为1、2、3,求m的取值范围。

分析:不等式3x-m≤0可化简为x≤ ,它的正整数解为1、2、3,则 的范围如图B所示,可直观地看出 >3,且 ≤4,故9

例6:关于x的不等式组x-m>01-x>0恰有4个整数解,求m的取值范围。

分析:由不等式1-x>0可化简为x<1,并在数轴上表示如下图(1),再由不等式x-m>0化简得x>m,若关于x的不等式组x-m>01-x>0恰有4个整数解,则m的范围如下图(2)所示:可直观地看出m≥-4,且m<-3,即-4≤m<-3 。