引入创新型问题培养高素质人才

摘 要：创新型试题是近几年高考中的热点，它是以考查学生创新意识及实践能力为目的的一类新题型，对学生综合应用数学知识解决问题的能力提出了较高的要求。教师要从创新型例题入手，探究创新型题目的解题方法，提高学生创新能力，培养高素质人才。

关键词：创新型问题；解题方法；创新人才

我省高考考试说明中有这样一句话：“作为选拔性考试，将侧重能力测验，在考试中适当设置开放性、探索性试题，考查创新意识和探究精神。”创新型试题是近几年高考热点，它是以考查学生创新意识及实践能力为目的的一类新题型，对学生综合应用数学知识解决问题的能力提出较高要求。它充分体现“倡导积极主动、勇于探索的学习方式和注重提高学生的数学思维能力”等新课程理念。下面，结合平时的教学实际，谈谈对创新型问题解题方法的一些探索。

一、概念类型创新题

这类创新题，首先给出定义，然后根据定义提出一些问题。要解决此类问题，须理解题目中的新定义、新符号，把握定义的本质，在这个基础上按定义进行解题。

例1： （2013年3月厦门市市质检）式子σ（a，b，c）满足σ（a，b，c）=σ（b，c，a）=σ（c，a，b），则称σ（a，b，c）为轮换对称式。则给出下列三个式子：①σ（a，b，c）=abc，②σ（a，b，c）=a2-b2+c2，③σ（A，B，C）=cosCcos（A-B）-cos2C（A，B，C为△ABC的内角），其中为轮换对称式的个数是：（ ）A.0，B.1，C.2，D.3

分析：本题给出一个轮换对称式的定义，要求学生充分理解轮换对称式的定义，再利用这个定义结合题目进行解答。①很明显是正确的，但③式要化简为2cosCcosAcosB，才能进行判断，它显然也是正确的。综上，应选①③。

二、规定运算法则型的创新题

题目先规定一种新的运算规则，再根据法则提出一些问题。解题方法是理解运算法则，运用法则将创新问题转化成常规问题。

例2：在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下。当ab时，ab=b2；当a

分析：根据定义的新运算，当x=2时，1

点评：解决这类定义新运算的关键是理解新的运算规则，并将它向已有知识转化。这体现了新课程“知识立意向能力立意过渡”的要求，突出对学生数学素养的考查。

三、规律探究型创新题

解决这类问题的关键在于认真分析、观察、图像（或图表），抓住题目所提供的主要信息及特征，透过现象看本质，并联系学过的相关知识，寻找规律。这样可以避繁就简，使问题得以解决。

例3：（2011·江西）观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为（ ）。A.01，B.43 ，C.07，D.4

分析：根据题意，进一步计算75、76、77、78、79的末两位数字。分析可得其末两位数字具有规律即“周期性”，进而可得72011与73对应，即可得答案。解：根据题意，72=49，73=343，74=2401，则75的末两位数字为07，进而可得76的末两位数字为49，77的末两位数字为43，78的末两位数字为01，79的末两位数字为07，…分析可得规律：n从2开始，4个一组，7n的末两位数字依次为49、43、01、07，则72011与73对应，其末两位数字43，故选B.

评注：本题是规律探究型的创新题，能很好地考查学生数据处理能力、推理论证能力，还考查了学生能否灵活运用所学过的知识进行探究、提出解题思路的能力。

四、情境创新型

这类题目所提供的生活背景、知识背景比较新颖。要解决这类问题，需要将遇到的新情境与学过的知识相联系，将已有的知识迁移到新的情境中去，并转化为熟悉的数学知识与数学方法。

例4：（2007江西）有4位好伙伴在一次聚会上，按照自己的爱好选择了不同形状、内部高度相等且杯口半径相等的圆口酒杯，如图。他们盛满酒后约定：先各自饮杯中酒的一半。设剩下酒的高度由左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（ ）。A.h3>h2>h4 ，B.h1>h2>h3 ，C. h2>h1>h4 ，D.h2>h4>h1

答案：C。点评：本题将立体几何的知识融合在生活实际中，要求学生有一定立体几何中旋转体的体积公式，考查考生对新问题的处理能力，看学生会不会将学过的知识迁移到新的情境中。

五、探索型的创新题

探索性问题具有发散性和开放性，往往题目的条件不完备，结论不确定。常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论，或由问题的题干去追溯相应的条件，要求解题之前必须透过问题的表象去寻找、发现规律性的东西。解决此类问题，须结合已有条件或结论，进行观察、试验、联想、类比、猜想、抽象，常用穷举法、分类讨论法去解决。有：追溯条件型、结论开放型、条件结论都开放型、条件重组型、存在判断型。

例5：（条件重组型）已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及和β之外的两条不同的直线。现给出以下4个条件：①m⊥n，②α⊥β，③m⊥α，④n⊥β，以其中的三个条件作为条件，余下一个作为结论，写出一个你认为正确的命题_______。

分析：本题是给出4个论断，要把其中的三个作为条件，一个作结论，可以用枚举法将4种情况进行逐一验证。不难发现，正确命题是①③④⇒②，或②③④⇒①。

例6：（存在判断型）已知椭圆C的方程是+y2=1，过原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于A，B两点。（1）判断原点O到直线AB的距离是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由；（2）略。

解：（1）原点O到直线AB的距离是定值，设A（x1，y1）B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，△ABC为等腰直角三角形。不妨设直线OA：y=x，将y=x代入+y2，解得x=±，此时原点O到直线AB的距离为。当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆联立消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0；由根与系数的关系得：x1+x2=，x1x2=，∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0. 把x1+x2=，x1x2=代入整理得：5m2=4+4k2，∴原点O到直线AB的距离d==，综上可得：原点O到直线AB的距离为。

点评：本题是一个探索型的创新题，第一步要探索原点O到直线AB的距离是否为定值。我们可以利用特殊位置去探究，如斜率不存在时求出这个定值，然后去探究一般情况下是否为这个定值，这样方向确定后，再利用学过的知识进行推理论证，从而问题得到解决。

新课程突出强调创新精神和实践能力的培养，而这一要求是要通过老师和学生具体的探究活动来实现。因此，对创新型问题的探究是当下我们高中教师必须认真去做的一件事，我们必须加强对它的研究，在平时的教学和考试中创设一些创新题，以达到我们对学生数学能力和创新意识的培养，使学生成为社会所需要的高素质创新人才。

参考文献：

[1]林京榕.2011年高考数学试题亮点赏析——信息迁移题 [J] .

中学数学，2011（9）.

[2]李新云.高考数学创新型试题例析 [J] .高中生之友，2012（7） .