利用变式训练和一题多解培养学生的数学思维能力

教材是教和学的依据，课本中的例题、习题是经过反复筛选精编而成的，看似寻常，实则内涵丰富，有不寻常的使用价值和应用功能。教师要充分发挥课本例题、习题的作用，在教与学中创造性地加以发挥与延伸，如一题多解（多方位、多角度、多层次）、旧题新讲、小题大讲（深入挖掘、一题多变，一题多解，一题多用）等。这能有效拓展学生的思维，提高学生的数学能力。

一、 旧题新讲、小题大讲

这里的“旧题”，是指课本中已做过的某些典型习题或例题。

例如：

如图1，⊙O1和⊙O2外切于点P，AD是⊙O1和⊙O2的公切线，A、D为切点。求证：AP⊥PD。此题是书本上的题，我们可以对此题作出如下变换：用运动的观点改变图形。

（1）两圆位置不动，直线运动。①两圆位置不动，若切线AD绕点A旋转到与⊙O2相切于点C的位置，如图2会有什么样的结论？（∠APC+∠BPC=180°）②两圆位置不动，若直线AD分别交两圆于点A、B和C、D，如图3会有什么样的结论？（∠APD+∠BPC=180°）

（2）直线不动，两圆运动。①如图4，若⊙O1和⊙O2外离，BC是⊙O1和⊙O2的外公切线，B、C为切点。连心线O1O2分别交⊙O1和⊙O2于M、N，BM、CN的延长线交于点P。求证：BP⊥CP。②如图5，若⊙O1和⊙O2相交，BC是⊙O1和⊙O2的外公切线，B、C为切点。连心线O1O2分别交⊙O1和⊙O2于M、N，Q是线段MN上一点，连接BQ、CQ，则BQ与CQ是否垂直？证明你的结论。③如图6，若⊙O1和⊙O2相交，交点是M、N，BC是⊙O1和⊙O2的外公切线，B、C为切点。求证：∠BNC+∠BMC=180°。

本题还可以变为开放性题目。根据图中给出的已知条件及线段，你还能得到哪些结论？如图7，经过分析研究，我们还可以得到下列结论：

1） PA=PT（或PB=PT）；2） ∠PAT=∠PTA（或∠PBT=∠PTB ）；3） ∠OAP=∠OTP=90°（或∠OBP=∠OTP=90° ）；4） PA=PB（或AB=2PT ）；5） ∠ATB=90°（或∠ATB为直角 ）；6） ∠AOT+∠APT=180°（或∠BO1T+∠APT=180° ）；7） OA∥O1B；8） △OAT∽△PTB（或△PAT∽△OTB）；9） PA·PB=OT·O1T（或PA·PB=OA·O1B）。

二、 一题多解，解题过程中拓展思路

课本上的例题、习题是经过严格筛选精心编制的，典型性强，灵活性大，不少习题往往有多种解法。

已知：如图10，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于D。求：弧AD的度数。

变式题：如图11，在⊙C中，CA⊥CB，CA=3，CB=4，求AD的长。

本题解法灵活，涉及勾股定理、垂径定理、切割线定理、相似三角形和解直角三角形的知识。由解题可见，思考越深刻，联想越丰富，解法越简捷。