谈几何图形问题中化归思想的应用

摘 要：数学有效和高效课堂的模式构建是一个动态的生成过程，再复杂的图形都是由基本图形组成的，题目虽然千变万化，但万变不离其宗。因此，只要将复杂图形抽象成基本图形，抓牢变化题目中不变的因素，再难的题目也能迎刃而解。

关键词：几何图形；化归思想；应用

有效课堂和高效课堂已成为全社会普遍关注的热门话题，既要减负，又要增效，看似矛盾的一组关系，正是我们所期盼和追求的永恒的课题。在新课程改革特别是在当前减负增效的背景下，构建有效和高效课堂，越发具有特殊的意义。面对日益复杂的数学题目，我们必须要有一套行之有效的方法去解决。也只有这样，才能真正实现轻负担、高质量。其实，再复杂的图形都是由基本图形组成的，题目虽然千变万化，但万变不离其宗。因此，只要将复杂图形抽象成基本图形，抓牢变化题目中不变的因素，再难的题目也能迎刃而解。

关于几何图形的分类，根据不同的标准，从不同的角度，可以有很多种分法。其中有一种探究性的分法体现了认识问题的两个基本方向，很好地体现了数学思想和数学思维。这种分法是：一是设置变化性的图形背景，探究由变化所体现的“图形不变性”；二是设置有特殊条件或特殊结论的图形背景，研究由此产生的“特定性质”。第一种分法是由特殊向一般扩充，第二种分法是向相对更为特殊的方向深入。下面主要探究图形变化中“不变性”的两种思考方向。

一、化归到原来基本图形的“变换性质”

如图1，已知△ABO中AO=BO=4，∠AOB=90°，把一块含300角的三角板DCP直角顶点P放在AB中点上（直角三角板短直角边为DP，长直角边为PC），将直角三角板DCP绕P点按逆时针方向旋转α度。

①当旋转角a满足条件0°<α<90°时，若DP交AO于E，PC交BO于F，在上述旋转过程中，PE与BF有怎样的数量关系？请说明理由。 ②如图2，当旋转角α满足条件90°<α<180°时，延长AO交PD或PD的延长线于E。延长O交PC于F，则PE与PF有怎样的数量关系？请说明理由。③如图3，当旋转角α满足180°<α<27°时，延长CP交OB的延长线于E，延长DP交OA于F，则PE与PF有怎样的数量关系？请写出结论，不用证明。④如图4，当旋转角α满足条件0°<α<90°时，若DP交AO于E，PC交BO于F，在上述旋转过程中，两三角板重叠部分为四边形PEOF，则重叠部分的面积有何变化？证明你发现的结论。

我们对上面的变化要进行认真地观察与思考。经过仔细审题，其实以上各题都可以归结为连接0P后证明△AEP≌△CFP，所有的结论就呼之即出了。即使题目变得再复杂，只要牢牢把握住基本图形，一切就会迎刃而解。①②③小题连接OP后不难证明△AEP≌△CFP，所以不管图形怎么变始终有PE=PF；④小题中连接OP后还是△AEP≌△CFP，所以四边形EOFP的面积始终为△AOP的面积，即为△AOB面积的一半，因此始终是个定值。

二、考查图形在变化中体现的统—性和差异性

如图A，已知矩形ABCD，AB=■，BC=3，在BC上取两点E、F（E在F左边），以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE、PF分别交AC于点G、H。①求△PEF的边长；②若等边三角形△PEF的EF在线段BC上移动，PH与BE有何数量关系？请证明你的猜想。

该题主要是研究等边△PEF在矩形ABCD内平移的问题。第一步我们要把矩形ABCD的情况研究透彻。通过已知条件知道tan=■，即∠ACB=∠CAD=300；第二步我们要把等边△PEF在矩形ABCD内平移的各类形态集中在图B中进行观察和比较。结果：①在特殊情况（E重合于B时），由Rt△AB（E'）P'可计算出P'E'=■=2，即△PEF的边长为2。 ②比较△PEF和△P'E'P'两种形态对应的图形情况，有PH=PA=PP'+ P'A=BE+1，再比较△P''E'' F''和△P'E'P'两种形态所对应的图形情况，有P''F''（H''）=P P''P'+ P'A=B E''+1。这就自然使我们形成了对PH和BE数量关系的猜想，至于如何计算和证明，我们还要根据题目提供的条件来进行。从这个例子中，我们可以发现相当多的由图形变换引出的不变性或变化规律的问题，思考和分析这类问题应以“变换”为线索，探究它们各类形态间的统一性和差异性，以及它们在变换过程中“变”与“不变”之间的内在关系。

上面是探究图形变化引出的不变性的思考特征，下面再简略提一下由情景扩充引出的不变性。由情景扩充引出的不变性也有很多种类，其中从特殊到一般是知识发展的一条重要途径。在从特殊到一般的过程中，我们要研究哪些性质发生了变化，哪些性质没有发生变化，发生变化的是按照怎样的特点进行的。思考、分析、解决这类问题时应该注意如下两点：一是要善于构造“特殊”和运用“特殊”；二是要善于在不同条件下把握知识与方法的共同点。

解题不是目的，重在过程，通过解题过程培养学生的思维能力、探究能力和创新能力，从而掌握数学思想和方法。化归思想只是众多数学思想中的一种。题海无涯，我们需要掌握一些解题策略——数学思想和方法，让它们指引我们的学习之舟在知识的海洋中有目的地快速航行。

参考文献：

[1]贡丽萍.几何图形中的变与不变[J].考试，2010（5）.

[2]孙晓天.研究学生，读懂学生：必要与可能[J].基础教育课程，2009（8）.