利用建模思想解决一次函数应用题问题

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。”根据《课标》编写的苏科版初中数学教材很好地体现了这一要求，近几年各省市的中考数学试题也体现了这一要求。其中一次函数应用题，因其综合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等内容，能实现数与形有机地结合，能体现分类讨论、对应、极端值等数学思想与方法，并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值，所以近年来一直是中考命题的重点和热点。一次函数应用题试题的命题形式多样，从近几年的中考题来看，可以大致归为以下三类：分段函数问题、两种方案做比较、调配问题。

要想让一次函数应用题得以解决，必须培养学生将实际问题转化为一次函数的能力，即数学建模能力，能够由一个问题解决一类问题，举一反三，触类旁通。教师可以选择典型题目，开展专题讲座，让学生进行建模训练，提高学生的建模水平。下面，笔者以2012年的中考题为例分别阐述。

一、分段函数问题

例1：（2012·广州）：某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费。如果超过20吨，未超过的部分按每吨1.9元收费，超过的部分按每吨2.8元收费。设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元。①分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨，y与x间的函数关系式。②若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？

这是一次函数应用题的基本类型，函数关系式应根据自变量的取值范围分两种情况来分析、讨论。未超过20吨时，水费y=1.9×相应吨数；超过20吨时，水费y=1.9×20+超过20吨的吨数×2.8；该户的水费超过了20吨，关系式为：1.9×20+超过20吨的吨数×2.8=用水吨数×2.2.

解：①当x≤20时，y与x的函数表达式是y=1.9x；当x>20时，y与x的函数表达式是y=1.9×20+（x-20）×2.8=2.8x-18；②5月份水费平均为每吨2.2元，用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费；用水量超过了20吨，则2.8x-18=2.2x，解得x=30.答：该户5月份用水30吨。

解分段价格问题建模策略：①分段函数的特征是：不同的自变量区间所对应的函数式不同，其函数图像是一个折线。解决分段函数问题，关键是要与所在的区间相对应。②分段函数中“折点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上。求解析式要用好“折点”坐标，同时在分析图像时还要注意“折点”表示的实际意义，“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值。

二、两种方案做比较

例2：（2012·连云港）我市某医药公司要把药品运往外地，现有两种运输方式可供选择。方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收4元；方式二：使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收2元。①请分别写出邮车、火车运输的总费用y1（元）、y2（元）与运输路程x（公里）之间的函数关系式。②你认为选用哪种运输方式较好？为什么？

分析：①根据方式一、二的收费标准即可得出y1（元）、y2（元）与运输路程x（公里）之间的函数关系式。②比较两种方式的收费多少与x的变化之间的关系，从而根据x的不同选择合适的运输方式。

解：①由题意得：y1=4x+400；y2=2x+820；②令4x+400=2x+820，

解得x=2l0。所以，当运输路程小于210千米时y1< y2，选择邮车运输较好；当运输路程小于210千米时，y1=y2，两种方式一样；当运输路程大于210千米时，y1>y2，选择火车运输较好。

三、调配问题

例3：（2012·德州）现从A、B向甲、乙两地运送蔬菜，A、B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨。

①设A地到甲地运送蔬菜x吨，请完成下面数据（单位：吨）：

运往甲地 运往乙地

A x ——

B —— ——

②怎样调运蔬菜才能使运费最少？

分析：①根据题意，A、B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，可得解。②根据从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨，可列出总费用，从而可得出答案。③首先求出x的取值范围，再利用与x之间的函数关系式，求出函数最值即可。

解：①如下所示（单位：吨）：

运往甲地 运往乙地

A x 14-x

B 5-x x-1

W=50x+30（14-x）+60（15-x）+45（x-1）。整理得：W=5x+1275.②∵A、B到两地运送的蔬菜为非负数，∴解不等式组，得：1≤x≤14，在W=5x+1275中，W随x增大而增大，∴当x最小为l时，W有最小值1280元。

求解物资调运问题的建模策略：①用表格设置未知数，同时在表格中标记相关数量；②根据表格中量的关系写函数式；③依题意正确确定自变量的取值范围（一般通过不等式、不等式组确定）；④根据函数式及自变量的取值范围，结合一次函数的性质，按题设要求确定调运方案。

以上所举三例材料内容都与我们的生活密切相关，很好地体现了“生活数学”的思想。学习数学是为了解决现实生活中的一些实际问题，而不是为了数学而学习数学。解决数学问题是为了训练学生的思维能力，尤其是创新能力。《课标》指出：“作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。”另外，通过数学基础知识的学习，要让学生掌握数学思想和方法，这是更高层次的数学学习。正如《课标》所说：“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。”而数学建模思想渗透于教材中，体现于试题中。“数学建模”思想能透过丰富的感性材料揭示问题的本质，增强学生应用数学的意识，激活他们的创造性思维。