多参数恒Lyapunov指数谱Sprott-J系统及其数字硬件实现*

刘艳云 ，朱 雷

(1.常州纺织服装职业技术学院机电工程系，江苏常州213164;2.江苏理工学院电气信息工程学院，江苏常州213001;3.南京航空航天大学电子信息工程学院，南京210016)

自1963年美国气象学家Lorenz在数值实验中偶然发现Lorenz系统以来［1］，混沌理论研究得到了长期和广泛的关注。1999年，Chen等利用混沌反控制方法发现了与Lorenz系统相似但拓扑不等价的Chen系统［2］。2002年，Lü等发现了实现 Lorenz系统和Chen系统之间过渡的Lü系统［3］和连接上述3个系统的统一混沌系统［4］。从便于进行工程应用的角度出发，构建具有某些特殊动力学行为的混沌系统，使其产生混沌信号的幅度、相位等受系统参数控制，并呈现确定的控制规律，则易于实现参数调制或混沌键控，从而为混沌在通信系统中的应用奠定理论基础，恒Lyapunov指数谱混沌系统便是这样一类系统。2009年，Li等在一个改进Colpitts振荡器模型［5］的基础上，将其非线性指数项改为分段线性的绝对值项，得到一个恒Lyapunov指数谱混沌系统［6］，在3个系统参数中，有一个参数具有恒Lya-punov指数谱和局部线性调幅特性，随后，Li进一步对系统进行了改进［7］和推广［8］。2011 年至今，文献［9-11］相继报道了一些具有单参数或双参数恒Lyapunov指数谱特性的新混沌系统，但目前尚未发现关于多参数恒Lyapunov指数谱混沌系统的报道。

1994年，美国学者Sprott在大量数值实验的基础上，提出了19种混沌系统，并为这些系统设置了固定的参数［12］，文献［13］在其中的 Sprott-B 系统模型基础上构建了一个具有调幅特性的分段线性混沌系统，本文则以Sprott-J系统作为研究对象，将其定参数改为变参数并进行巧妙的恒Lyapunov指数谱锁定，从而得到一个多参数恒Lyapunov指数谱混沌系统。

1 系统模型

通过对Sprott-J系统进行多参数恒Lyapunov指数谱锁定，得到如下系统:

式中a，b，c，d为非零实参数，x，y，z为系统的状态变量。当取参数a=2，b=2，c=1，d=1 时，系统(1)便成为基本Sprott-J系统，系统存在一个典型的单涡卷混沌吸引子，如图1所示。此时系统(1)的3个Lyapunov指数为LE1=0.074，LE2=0.003，LE3=-2.076，Lyapunov维数为dL=2.037。

图1 系统(1)的相轨图(a=2，b=2，c=1，d=1)

2 动力学特性分析

2.1 基本动力学特性分析

对于系统(1)，满足

从而，当b＞0时系统(1)耗散。系统(1)的平衡点为S=(0，0，0)，在平衡点S处线性化系统(1)，得其Jacobi矩阵:

及特征多项式:

根据Routh-Hurwitz判据，对于任意实数b，平衡点S均不稳定，可能产生混沌，当a=2，b=2，c=1，d=1时，平衡点S对应的特征根为λ1=-2.314 6，λ2，3=0.157 3±1.305 2i，因此，此时平衡点S为指标2的鞍焦点。

2.2 系统参数的影响

通过观察特征多项式(4)可以发现，其特征值与b相关，与a，c，d无关。因此，参数b的改变可能导致系统状态的演变，而参数a，c，d不影响系统在相空间上的动力学特征。下面通过Lyapunov指数谱和分岔图来进一步揭示参数a，b，c，d的改变对系统状态及动力学行为的影响。

固定参数b=2，c=1，d=1，当a∈［0.1，10］时，系统(1)的Lyapunov指数谱和分岔图如图2所示。从图2可见，随着a的变化，系统的Lyapunov指数谱保持不变，此时的Lyapunov指数实质就是系统在a=2，b=2，c=1，d=1 时的 Lyapunov指数值，而随着a的增大，系统的输出信号x的幅度增大，y和z的幅度保持不变。

图2 a变化时系统(1)的Lyapunov指数谱和分岔图

固定参数a=2，c=1，d=1，当b∈［1.4，3.4］时，系统(1)的Lyapunov指数谱和分岔图如图3所示。从图3可见，随着b的改变，系统的Lyapunov指数谱发生明显的变化并伴随丰富而有趣的分岔模式，从而导致系统状态在周期与混沌之间的演变。当1.4≤b＜1.58，1.708＜b＜1.86，1.928＜b＜2.056或2.056 1＜b＜2.312时，有一个正的 Lyapunov指数，系统处于混沌状态;当1.58≤b≤1.708，1.86≤b≤1.928，2.056≤b≤2.0561 或2.312≤b≤3.4 时，最大Lyapunov指数为0，系统处于周期状态，并且系统在b=1.688和b=1.868处分别出现倍周期分岔和反向倍周期分岔，从而由周期3状态进入周期6状态;在b=2.448处出现反向倍周期分岔，由周期2状态进入周期4状态;在b=3.02处出现反向倍周期分岔，由周期1状态进入周期2状态，这些周期状态及其分岔模式的存在对系统向混沌状态演变具有重要的作用，限于篇幅，这里仅给出两个典型周期状态的相轨图，如图4所示。

图3 b变化时系统(1)的Lyapunov指数谱和分岔图

图4 系统(1)的典型周期相轨图(a=2，c=1，d=1)

固定参数a=2，b=2，d=1，当c∈［0.2，2］时，系统(1)的Lyapunov指数谱和分岔图如图5所示。从图5可见，随着c的变化，系统的Lyapunov指数谱保持不变，即系统在a=2，b=2，c=1，d=1 时的Lyapunov指数值，而系统的输出信号x，y和z的幅度随着c的增大而减小。

固定参数a=2，b=2，c=1，当d∈［0.2，2］时，系统(1)的Lyapunov指数谱和分岔图如图6所示。从图6可见，随着d的变化，系统的Lyapunov指数谱保持不变，同样等于系统在a=2，b=2，c=1，d=1时的Lyapunov指数值，而系统的输出信号x，y和z的幅度随着d的增大而减小。

图5 c变化时系统(1)的Lyapunov指数谱和分岔图

图6 d变化时系统(1)的Lyapunov指数谱和分岔图

2.3 多参数调幅特性分析

上述数值仿真表明参数a，c，d变化时，系统(1)输出信号的振荡幅度部分或全部地发生变化，参数a，c，d具有局部线性或全局非线性调幅特性。这种局部线性与全局非线性并存的多参数调幅特性为混沌应用于多参数联合调制的复杂通信系统提供了理论基础。

定理1系统参数a是局部线性调幅参数，输出信号x的幅值与a呈线性关系变化，输出信号y和z的幅值与a的变化无关。

证明令x=kx*(k≠0)，y=y*，z=z*，则系统(1)变为如下形式:

由此可知，系统(1)的状态变量x的线性调整等价于参数a的尺度变化，参数a是局部线性调幅参数，输出信号x的幅值与a呈线性关系变化，输出信号y和z的幅值与a的变化无关。证毕。

定理2系统参数c是全局非线性调幅参数，输出信号x和z的幅值与c呈幂函数关系变化，其指数为-2，输出信号y的幅值与c也呈幂函数关系变化，其指数为-1。

证明令x=k2x*，y=ky*，z=k2z*(k≠0)，则与定理1类似可以得证，这里过程从略。

定理3系统参数d是全局非线性调幅参数，输出信号x，y和z的幅值与d呈幂函数关系变化，其指数为-1。

证明 令x=kx*，y=ky*，z=kz*(k≠0)，则与定理1类似可以得证，这里过程从略。

3 数字硬件实现与实验验证

以TI公司的16bit低功耗微控制器MSP430F249为核心，结合Linear Technology公司的16 bit高速并行D/A转换器LTC1668和TI公司的高速运算放大器OPA2690，设计出混沌系统数字实现的硬件电路，其框图如图7所示。MSP430F249以数字方式实现混沌信号的实时生成，LTC1668将此数字信号转为模拟电流信号，最后由OPA2690完成电流-电压转换，两路混沌电压信号VX和VY分别被送至示波器X和Y输入端。

图7 混沌系统数字实现框图

为以数字方式实现系统(1)，须将其系统微分方程离散化为差分方程，这里采用简单而高效的欧拉算法进行离散化处理，得到:

式中h为步长，n为迭代次数。

根据式(6)可以编制出基于MSP430F249的C语言程序，程序中设置h=0.001，设定参数a=2，c=1，d=1，并分别令b=2，b=1.65，b=2.4。采用具有高分辨率的安捷伦DSO7032A数字示波器对系统运行后得到的吸引子进行了实验观察，结果如图8所示，与图1、图4对比可以发现，实验结果与仿真结果保持一致，以数字方式完全可以实现本文所构建的多参数恒Lyapunov指数谱Sprott-J系统。

图8 系统(1)的实验相轨图(a=2，c=1，d=1)

4 结论

本文在基本Sprott-J系统的基础上，引入4个系统参数，巧妙地进行了恒Lyapunov指数谱锁定，致使在系统特征多项式中消去3个参数，从而得到一个多参数恒Lyapunov指数谱混沌系统。采用相轨图、Lyapunov指数谱和分岔图等动力学手段对系统进行了数值仿真，研究结果表明，参数b可以决定系统的状态及其演变，存在倍周期分岔和反向倍周期分岔通往混沌的道路，使系统在周期与混沌状态之间演变，而另外3个参数a，c和d则拥有恒定的Lyapunov指数谱，从而使系统工作于鲁棒混沌状态。进一步的理论分析则揭示出这3个参数还具有局部线性或全局非线性调幅特性，因此易于实现多参数联合调制或混沌键控，为混沌在复杂通信系统中的应用打下理论基础。此外，设计了以16 bit低功耗微控制器MSP430F249为核心的数字硬件电路，在基于欧拉算法进行离散化处理的基础上，实现并验证了本文所构建的多参数恒Lyapunov指数谱Sprott-J系统，数字化的实现方式便于与现代数字通信和软件无线电系统中的数字信号处理技术兼容，从而打下混沌系统应用的工程基础。

［1］Lorenz E N.Deterministic Nonperiodic Flows［J］.Journal of the Atmospheric Sciences，1963，20(2):130-141.

［2］Chen G R，Ueta T.Yet Anthor Chaotic Attractor［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，1999，9(6):1465-1466.

［3］Lü J H，Chen G R.A new Chaotic Attractor Coined［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，2002，12(3):659-661.

［4］Lü J H，Chen G R，Cheng D Z，et al.Bridge the Gap between the Lorenz System and the Chen System［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，2002，12(12):2917-2926.

［5］Maggio G M，Feo O D，Kennedy M P.Nonlinear Analysis of the Colpitts Oscillator and Applications to Design［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems—Ⅰ:Fundamental Theory and Applications，1999，46(9):1118-1130.

［6］李春彪，王德纯.一种恒Lyapunov指数谱混沌吸引子及其Jerk电路实现［J］.物理学报，2009，58(2):764-770.

［7］李春彪，陈谡，朱焕强.一个改进恒Lyapunov指数谱混沌系统的电路实现与同步控制［J］.物理学报，2009，58(4):2255-2265.

［8］李春彪，王翰康.推广恒Lyapunov指数谱混沌系统及其演变研究［J］.物理学报，2009，58(11):7514-7524.

［9］周小勇.一种具有恒Lyapunov指数谱的混沌系统及其电路仿真［J］.物理学报，2011，60(10):100503.

［10］李春彪，徐克生，胡文.Sprott系统的恒Lyapunov指数谱混沌锁定及其反同步［J］.物理学报，2011，60(12):120504.

［11］李春来，禹思敏，罗晓曙.一个新的混沌系统的构建与实现［J］.物理学报，2012，61(11):110502.

［12］Sprott J C.Some Simple Chaotic Flows［J］.Physical Review E，1994，50(2):647-650.

［13］朱雷，刘艳云.一个具有调幅特性的分段线性混沌系统与微控制器实现［J］.电子器件，2012，35(6):652-656.