对接种条件下时滞双病毒感染模型的稳定性分析

侯新华，王 菲

(1.湖南工业职业技术学院商贸旅游系，中国长沙 410208;2.湖南大学数学与计量经济学院，中国长沙 410082)

流感是一种十分普遍的传染病，该传染病每年给人类的健康带来了严重的威胁，同时也造成了巨大的经济损失.流感的传播主要依靠流感病毒的扩散.流感病毒最大的特征是可以发生变异，造成患者的免疫系统对流感病毒的识别失效.目前，主要有3 种流感病毒，分别是A，B，C 型，其中每种病毒都有其子类型病毒和菌种.据了解，子类型的病毒是由活动激烈的抗原的改变即抗原转变产生的，但是一些发生在病毒抗原中的微小但是连续的变化即抗原漂移可以产生一个新的菌种，一旦这种新菌种出现，能识别旧菌种的抗体无法识别这个新菌种，此时，便会出现新菌种的感染.这也就是人会不止一次感染流感病毒的原因［1-2］.

接种是目前预防季节性流感的重要手段，但2009年出现的H1N1 A 型病毒给了我们一个很好的启发:由于人们无法预见流感病毒的变异类型，研究人员只能针对现有流感病毒类型研制疫苗，加上疫苗的研制时间较长，等到疫苗研制成功时，病毒可能已经发生了变异，因此新研制而成的疫苗可能对变异的病毒失去作用［3-15］.本文针对这一情形，假设有2 种病毒同时入侵易感者，若接种所使用的疫苗只对其中一种病毒起作用，建立相应的数学模型，并研究模型的动力学性质.

1 模型的建立及平衡点的稳定性分析

1.1 模型的建立

假设存在2 种不同的病毒入侵易感者，其中病毒1 是一种毒性温和且已有疫苗的流感病毒，病毒2 是与病毒1 的子型在抗原上不相关的新病毒，需要足够的时间去研究它的疫苗，为了建立这种情况下的动力学模型，按例把种群分为5 部分，分别是易感人群，对病毒1 免疫的人群，感染病毒1 的人群，感染病毒2 的人群和康复人群，分别记为S，V1，I1，I2，R.假设有1 个恒定的人群因为出生或者迁移进入易感人群的范围，并且无疑会被感染.易感人群以比例r 注射病毒1 的疫苗，并且被病毒1 和病毒2 感染的人群的传播系数分别是β1和β2，V1被病毒2 感染的比率是k，假设患者一旦从病毒1 或者2 的感染中恢复，就不会再感染.在这个基础模型中，通过建模，最终可以求解出无病平衡点，2 个单株地方病平衡点，和一个多株地方病平衡点，并且可以证明其全局稳定性.在本文中，为了使模型进一步完善，考虑了免疫期和潜伏期，因此为模型添加了时滞因素［2-5］，具体见框图1.

图1 时滞因素模型图Fig.1 Model of time delay factor

由上述框图可以得到以下数学模型:

其中，所有参数都是正数.S(t)为t 时刻的易感者数目，Ii(t)为易感者在t 时刻被第i 个病毒所感染的感染者数目，R(t)为t 时刻的恢复个体数目，Λ 为种群补充率，为平均寿命，r 为疫苗对病毒1 的接种率，β1为易感者与第1 类感染者的接触效率，β2为易感者与第2 类感染者的接触效率，为病毒1 的平均感染时间，为病毒2 的平均感染时间，p1为感染第1 种病毒的患者的死亡率，p2为感染第2 种病毒的患者的死亡率，k 为接种或易感者感染病毒2 生物的感染率，τ 为病毒1 的潜伏期.根据模型的生物意义，假设方程组(1)中的所有参数皆为正常数.

由于方程组(1)的前4 个方程与最后的方程无关，所以只须考虑如下方程组

考虑到方程组(2)的生物意义，方程组(2)的初始条件为

其中R+=［0，∞).根据时滞微分方程的基本理论可知:对于给定的初始条件(3)，系统(2)在［0，+∞)上存在唯一的连续解.

1.2 解的非负性与有界性

下面考虑模型(2)的解的非负性和有界性.

定理1对于给定的初始条件(3)，系统(2)的解是非负的，并且存在M ＞0，使得对任意的t ≥0，都有S(t)≤M，V1(t)≤M，I1(t)≤M，I2(t)≤M.

证由系统(2)的第1 个方程可得

因此，由系统(2)的第2 个方程可得

由系统(2)的第3 个方程有

由逐步迭代可知I1(t)≥0 对所有t ≥0 成立.由系统(2)的最后1 个方程可得I2(t)=下面证明解的有界性.设沿系统(2)的解对L(t)求导可得

1.3 系统的平衡点存在性

求系统(2)的平衡点对应于下列代数方程组的解

2)，其中

显然，单株地方病平衡点E1存在当且仅当

解得

将式(7)代入式(6)得

又由式(5)得

联立式(8)和式(9)得

1.4 基本再生数的计算

记行列式

可计算得

于是，定义基本再生数如下

1.5 平衡点的全局稳定性分析

函数g(x)=x－1－ln x 对平衡点稳定性分析发挥着主要作用，容易证明:在定义域内，g(x)为非负函数，且存在唯一极小值点x=1，满足g(x)≥g(1)=0，等号成立当且仅当x=1.

1.5.1 无病平衡点的全局稳定性

根据时滞微分方程的稳定性理论，需构造合适的Lyapunov 泛函.

定理2当基本再生数R0=max{R1，R2}≤1 时，无病平衡点E0是全局渐近稳定的.

证记，沿系统(2)的解分别对U1和U2求导得

构造如下Lyapunov 泛函

沿系统(2)的解求导得

因此，当R1≤1 和R2≤1 时，U'(t)≤0，并且不难发现，U'(t)=0 当且仅当S(t)=S0，V1(t)=I1(t)=I2(t)=0，因此，由Lyapunov-LaSalle 不变原理可知:E0是全局渐近稳定的.

1.5.2 单株地方病E1处的全局稳定性

定理3当基本再生数R1＞1 且R2≤1 时，则当初始条件满足φi(0)＞0(i=1，2，3，4)时，单株地方病平衡点E1是全局渐近稳定的.

证由前面的讨论可知:当R1＞1 时，单株地方病平衡点E1是存在的.同时，由定理1 的证明过程可知:当φi(0)＞0(i=1，2，3，4)，系统(2)的所有解都是大于0 的.考虑下列泛函

沿系统(2)的解对上述各泛函求导可得

构造Lyapunov 如下

沿系统(2)的解对其求导得

因此，当R1＞1 且R2≤1 时，U'(t)≤0，且不等号成立的条件为0，因此，由Lyapunov-LaSalle 不变原理可知:E1是全局渐近稳定的.

1.5.3 单株地方病平衡点E2的全局稳定性

定理4当基本再生数R1≤1 和R2＞1 时，则当初始条件满足φi(0)＞0(i=1，2，3，4)时，单株地方病平衡点E2是全局渐近稳定的.

证同样由前面的讨论可知:当R2＞1 时，单株地方病平衡点E2是存在的.同时，系统(2)的所有解都是大于0 的.

考虑如下泛函

沿系统(1)的解对上述各泛函求导得

显然，可以看出，R1≤1 及R2＞1 时，U'(t)≤0，且不等号成立的条件为，因此，由Lyapunov-LaSalle 不变原理可知:E2是全局渐近稳定的.

2 结论及生物意义

考虑到传染病患者接种因素，本文通过对双株传染病模型中引入时滞，得到了一个时滞传染病动力学方程.通过对模型的分析，得到了无病平衡点和单株地方病平衡点的全局稳定性条件.具体而言，当基本再生数R0=max{R1，R2}≤1 时，证明了无病平衡点E0(S0，V10，0，0)是全局渐近稳定的，这表明2 种传染病都将最终消亡;当再生数R1＞1 且R2≤1 时，证明了单株地方病平衡点是全局渐近稳定的.这说明第2 种传染病将最终消亡;当再生数R1≤1 且R2＞1 时，证明了单株地方病平衡点是全局渐近稳定的，这说明第1 种传染病将最终消亡.

由于R1和R2都是关于接种率r 递减的，因此，提高接种率有利于抑制2 种传染病的流行.同时，我们亦可以看出R1也是关于时滞τ 递减的，这也表明，疾病的长潜伏期也是有利于抑制传染病流行的.

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