电力系统谐波频谱分析的相位差校正法

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电力系统的谐波问题在世界范围内得到了十分广泛的关注，谐波的管理、检测和治理等被摆到了十分重要的位置。谐波问题涉及面广，它包括谐波分析、谐波测量、谐波抑制等。谐波测量是谐波问题管理的主要依据，实测电网谐波的干扰和分布状况，已成为保证电网安全经济运行、高质量供电必不可少的措施之一[1，2]。

而电力系统谐波分析的主要方法是频域分析，由于栅栏效应、频率混叠和频谱泄漏，故要得到准确的频谱分析结果就必须对经FFT变换得到的频谱进行校正。相位差校正法由于其相对简单，通用性好，计算方便，故在不很密集的频谱分析中得到了广泛应用。下面讨论了几种实现相位差校正法的方法，并通过仿真对几种方法做了对比分析。

1 余弦窗函数及其拼谱

电网信号主要含有整数次谐波，因而常采用基于余弦窗的组合窗，这类窗只要选取观测时间是信号周期的整数倍，其频谱在各次整数倍谐波频率处幅值为零，因而谐波之间不发生相互泄漏[4]。

余弦窗一般可以表达为(H为窗的项数减1)

(1)

(2)

可见，在窗的主瓣内具有线性相位-λπ。

2 相位差校正法[3]

2.1 相位差校正方法1

采集两段连续的信号样本，然后对这两段信号做FFT变换，利用其对应离散谱线的相位差校正出谱峰处的准确频率和相位。对两段信号加相同的窗函数后进行FFT变换后的相频函数，在窗函数主瓣内都具有同样的相位偏差θw，而且斜率相同，则第k次谐波有(θk为信号实际相位)

θk0=θk+θw

θk1=θk+θw+2π×Δx/Tk

(3)

相位差为(令Δxk=mod(Δx，Tk))

Δk=Δxk/Tk=(θk1-θk0)/2π

(4)

(Δxk+nTk)=T⟹(m+Δk)Tk=T

(5)

校正频率为

(6)

可得式(5)、(6)中，Tk为k次谐波的周期；T为采样序列的周期；m为峰值谱线号；N为采样点数；fs为采样频率，fs/=N/T。)

设窗函数的频谱模函数为w(λ)，yk为谱线为n时的FFT幅值，则幅值校正为[5]

(7)

而汉宁窗的幅值校正公式为

(8)

当实部为Rk，虚部为Ik时，真实相位角θk为

(9)

其特点是通用性好，对不同窗函数时可用相同的公式进行频率和相位校正，频率分辨率为窗函数的分辨率，如上面的汉宁窗为两倍的采样基波频率(2/T)，校正精度高。且计算方法简单，运算速度快，加汉宁窗时，考虑旁瓣干扰，适用于频率间隔为2个以上的频率分辨率的离散频率成分的校正。当频率成分很靠近时，存在旁瓣干扰，甚至会发生主瓣干扰，因而会影响校正精度，甚至无法校正。

2.2 相位差校正方法2

这种方法只对原始信号采用一段样本，然后分别作N点和前N/2点FFT，利用其对应离散谱线的相位差校正出谱峰处的精确频率和相位。同样加窗后两段信号的相位分别为

θk0=θk+θw

θk1=θk+θw/2

(10)

故可得θw=-2Δθ=Δkπ

(11)

即 Δk=-2Δθ/π

同样，加汉宁窗后的第k次谐波校正频率、校正幅值和校正相位基于式(6)、(8)、(9)求得。

这种方法的特点是只需要一段时间信号，对于频率成分靠得很近，因为作N/2点FFT时，频率分辨率扩大一倍而导致校正误差大，故加汉宁窗时，适用于频率间隔为5个以上频率分辨率的离散频率成分的校正。

2.3 相位差校正方法3

这种方法只采用一段时域信号，然后构造另一时间序列，再对这两段时间序列做FFT变换，利用其相位差进行频谱校正。构造序列的方法是：根据原始序列x(n)(n=0，1，…，N-1)，将原序列的前N/2点向右平移N/4，然后将序列的前后N/4点置零，利用窗函数的能量集中在中间近似求解。

加窗做FFT变换后，两段信号的相位分别为

θk0=θk+θw

(12)

相位差为(令Δxk=mod(Δx，Tk)，i=mod(k，4)

(13)

Δk=Δxk/Tk=2(Δθ-πi/2)/π

(14)

同样，加汉宁窗后的第k次谐波校正频率、校正幅值和校正相位基于式(6)、(8)、(9)求得。

这种方法的特点是速度快。只需采一段时间信号，加任何对称窗函数均可，通用性好。但精度比第一种方法略低，但其有比较好的抗干扰能力。但此方法仍然无法消除频谱干扰带来的误差，不适用于密集频率分析。

3 仿真实例

3.1 较远的频率成分的校正比较

信号如式(15)所示，采样频率为1 024 Hz，频谱分析点数为1 024，频率分辨率为1 Hz。选用汉宁窗，分别进行无噪声和加最大幅值为0.5的随机小噪声(消除直流成分后，相当于各频率成分幅值的25%)以及加最大幅值为2的随机大噪声(消除直流成分后，相当于各频率成分幅值的100%)。 实验分析结果如表1、2所示。

y(t)=cos(2π4.2t+20π/180)

…+cos(2π150.5t+30π/180)

…+cos(2π300.7t+50π/180)

(15)

结果表明如下。

(1) 在小噪声(无噪声)的情况下，对于间隔较远的频率成分，各种相位差的校正方法在频率、幅值和相位方面的校正精度很高。比较而言，相位差法1的精度高于其他两种校正法。

(2) 在加大噪声的情况下，各种校正方法的校正精度都明显降低，但结果精度仍然很高。相比而言，第3种校正法受噪声影响最小。

3.2 间隔较近的频率成分的校正比较

信号如式(16)所示，采取方法1中同样的采样频率、点数。

y(t)=cos(2π123.4t+20π/180)

…+cos(2π127.4t+30π/180)

…+cos(2π131.4t+50π/180)

(16)

对式(16)信号加最大幅值为0.5的小噪声，再加汉宁窗进行分析。对比的结果如表3所示。

表1 叠加随机小噪声信号校正结果分析

表2 叠加随机大噪声信号校正结果分析

表3 校正结果分析(Δf=4 Hz)

在频率间隔4个频率发辨率时，利用相位差法1进行校正，频率最大误差为0.001 749个频率分辨率，幅值最大误差为0.709 9，相位最大误差为0.675 663°。利用相位差法3进行校正，频率最大误差为0.022 803个频率分辨率，幅值最大误差为1.200 49%，相位最大误差为4.690 788°。而用相位差法2进行校正，频率最大误差为0.431 97个频率分辨率，幅值最大误差为16.931 1%，相位最大误差为100.758 972°

4 结 论

通过几个仿真中可总结出，在无噪声和小噪声的情况下第1种相位差校正法校正精度高于其他两种。从电力系统谐波分析的实际考虑，假定谐波是平稳分布的，通过进一步仿真表明，采样周期选为5倍的基波周期时，相位差校正法1的精度完全可以满足要求。而达到同样精度，其他两种算法要抽样时间大于10倍的基波额定周期。实际中，相位差法1需要采样两个序列，故3种方法的采样时间相差不大，但如果分析的谐波次数相同的情况下，后两种方法的采样速率必须是前者的两倍，处理的数据量也增加了一倍。另外，如果考虑更好的窗函数，可以求得更好的结果，但计算复杂，且3次以上窗很难得到准确的校正公式[5]。故基于第1种相位差校正法的优点，推荐使用加汉宁窗的第1种相位差校正法进行校正。

[1] 吴竞昌.供电系统谐波[M].北京：中国电力出版社，1998.

[2] 宋文南，刘宝仁.电力系统谐波分析[M].北京：水利电力出版社，1995.

[3] 丁康，钟舜聪.通用的离散频谱相位差校正方法[J].电子学报，2003(1)：142-145.

[4] 潘文，钱俞寿基于加窗插值FFT的电力谐波测量理论：(I)窗函数研究[J].电工技术学报，1994(1)：50-54.

[5] 潘文，钱俞寿.基于加窗插值FFT的电力谐波测量理论：(II)双插值FFT理论[J].电工技术学报，1994(2)53-56.

[6] 沈国峰，王祁.进一步提高准同步采样谐波分析法准确度的方案[J].仪器仪表学报，2001(5)：455-457.

[7] 谭山，熊元新，刘珠明.电力系统分数谐波的测量方法[J].继电器，2002(2)：19-21.

[8] 陈隆道，王小海.周期域分析中的信号周期算法[J].仪器仪表学报，2001(4)：410-412.