卵形曲线要素及其上任意点坐标的严密算法

任克林

（四川省冶金地质勘查局测绘工程大队，成都610212）

0 引言

公路平曲线设计中，常用到卵形曲线。其要素（缓和曲线切线角β、切线增量q、圆曲线内移值m、切线长T等）以及卵形线上任意点高斯平面直角坐标（以下简称高斯坐标）的计算是公路中线（平曲线）设计与测设的难点，有关文献给出的计算方法有利用复化辛普森公式计算［1］、利用双交点法计算［2］等。其中复化辛普森公式算法为拟合算法，且公式复杂不利于编程计算；双交点法是将卵形线分为长度相等的两段分别看作等长完整缓和曲线来进行解算，也为一种近似算法。故上述方法存在着编程困难、误差较大或未能求解卵形曲线要素的不足。本文推证出一种补全卵形线后利用几何性质将其平面独立坐标转换为高斯坐标的计算方法，可有效解决上述两类方法的不足。

1 推证思路

如图1所示，已知弧ZH－HY1为IP1处前缓和曲线，弧HY1－YH1为IP1处圆曲线，半径为R1；弧HY2－YH2为IP2处圆曲线，半径为 R2，弧YH2－HZ为IP2处后缓和曲线，长度为Ls2，卵形线（IP2处前缓和曲线）YH1－HY2曲线长度为Lh，起点（YH1）处曲率半径为R1，终点（HY2）处曲率半径为R2。交点IP2处路线转角为α。交点IP1高斯坐标为 （XIP1，YIP1），交点IP2高斯坐标为 （XIP2，YIP2）。设IP2处圆曲线HY2－YH2圆心位置为A，过A点作垂线A－V1垂直线段IP2－HZ于V1，作垂线A－V2垂直线段IP1－IP2于V2；连接A与IP2点，由几何关系（线段A－V2垂直线段IP1－IP2，线段A－V1垂直线段IP2－HZ）可知α1＋α2＝α。过点HY2作辅助线HY2－E平行于线段IP1－IP2；过点HY2作垂线 HY2－V3垂直于线段IP1－IP2，垂足为V3。

图1 卵形曲线

图1中以R1＞R2右转路线为例，设卵形线YH1－HY2缓和曲线切线角（以下简称切线角）为β1，IP2处后缓和曲线切线角为β2，弦YH1－HY2与线段IP1－IP2夹角为θ，弦YH1－HY2长度为S。将卵形线YH1－HY2补全为完整缓和曲线，因R1＞R2，卵形线增补部分位于IP1一侧，设增补长度为Lq，卵形线补全为完整缓和曲线后总长为Lall，起点为o，缓和曲线常数为C1。在o点以补全卵形线起点处的切线与垂线分别作为x轴、y轴建立独立坐标系，设YH1在独立坐标系中坐标为（x1，y1），HY2在独立坐标系中坐标为（x2，y2）。

设独立坐标系中完整缓和曲线o－YH1部分切线角为βYH1，o－HY2部分切线角为βHY2，据（x1，y1）、（x2，y2）与βYH1、βHY2即可求得卵形线YH1－HY2切线角为β1、 弦YH1－HY2的长度S以及弦YH1－HY2与线段IP1－IP2（即独立坐标系中YH1处切线）的夹角θ，再根据参考文献［3］所述方法可求得卵形曲线要素（切线角β、切线增量q、圆曲线内移值m、切线长T等）。

1.1 卵形曲线要素推证

完整缓和曲线计算公式为：

式中：C——完整缓和曲线常数；

Lp——完整缓和曲线上任意点p与起点间的曲线长度；

r——完整缓和曲线上任意点p处曲率半径；

β——完整缓和曲线上任意点p处切线角；

Ls——完整缓和曲线的长度；

R——完整缓和曲线的终点处曲率半径；

xp——完整缓和曲线上任意点p独立坐标x；

yp——完整缓和曲线上任意点p独立坐标y（x、y在计算中常取前3项）；

xs——完整缓和曲线终点的独立坐标x；

ys——完整缓和曲线终点的独立坐标y；

βs——完整缓和曲线终点处切线角；

m——完整缓和曲线整体的圆曲线内移值；

q——完整缓和曲线整体的切线增长值。

图1中，将卵形线YH1－HY2补全，其增补长度为Lq，总长为Lall。则据式（1）完整缓和曲线常数C＝Lp·r可建立方程：

将Lq、Lall代入式（1）、（3）可得：

以及在独立坐标系中YH1、HY2坐标x1、y1、x2、y2（公式略）。

将x1、y1、x2、y2代入式（1）、（4）、（5）可得：

设IP2处前半段曲线中整体圆曲线内移值为m1，切线增长为q1，因线段YH1－E 平行于线段IP1－IP2，线段A－V2垂直于线段IP1－IP2，可据几何性质得：

设IP2处后缓和曲线YH－HZ中整体圆曲线内移值为m2，切线增长值为q2，据式完整缓和曲线计算公式（1）、（2）易得m2、q2。

设IP2处前半段曲线切线长为T1，后半段曲线切线长为T2，则据参考文献［3］所述方法可求得：

至此，卵形曲线 要素β1、β2、m1、m2、q1、q2、T1、T2推证完毕。

1.2 卵形线上任意点P高斯坐标计算

图1中以R1＞R2右转路线为例，设直线IP1－IP2高斯坐标方位角为ω，P点位于卵形线YH1－HY2上，缓和曲线o－P 段长度为LP，YH1点高斯坐标为（XYH1，YYH1），P点在独立坐标系中坐标为（xP，yP），高斯坐标为（XP′，XP′），弦YH1－P 长度为SP，与交点连线IP1－IP2（即独立坐标系中YH1处切线）的夹角为θP。

据式（8）中T1与交点IP1、IP2的高斯坐标易求得YH1点高斯坐标（XYH1，YYH1）与ω，据式（1）、（3）可得YH1点在独立坐标系中的坐标（XIP1，YIP1）以及P点在独立坐标系中的坐标（xP，yP）。

将x1、y1、xP、yP代入式（1）、（4）、（5）可得：

则弦YH1－P的高斯坐标方位角为θp＋ω，又据式（9）SP即可求得卵形线上任意点P高斯坐标：

1.3 其他情况

当R1＜R2或卵形曲线为其他线型组合及转向时，计算原理和方法类同，仅需注意公式中各种参数的对应使用。

2 算例

笔者按上述原理，以Visua Basic语言编制成计算程序，当给定已知条件后，可以迅速算出曲线要素及任意桩号的坐标，以及在已知控制点处的放样数据。计算参数及结果见表1～3。

IP6处前缓和曲线起点曲率半径为4 000m，终点曲率半径为1 600，为卵形线。

表1 国道集锡公路四平绕越线路线数据表（部分）

表2 曲线元素表

表3 逐桩成果表（卵形线部分）

3 结语

本文探讨在卵形曲线中利用补全卵形线并在建立独立坐标系中通过几何关系求得其曲线要素及卵形线上任意点位高斯平面直角坐标的方法，并给出详细的推导过程，具有线位控制准确、易操做和编程清晰的特点，适合高等级公路高精度计算要求的卵形曲线设计与测设计算。

［1］李孟山.利用复化辛甫生公式计算特殊曲线点位坐标［J］.铁路航测，1999（4）：27.

［2］张玥.切基线条件下双交点曲线参数的计算方法［J］.铁道建筑，2011（10）：81.

［3］焦亨余.不对称缓和曲线的坐标计算［J］.中国科技信息，2006（15）：299.

［4］刘丹.缓和曲线精确计算的通用公式［J］.广西交通科技，2001（2）：61.

［5］王庆中.公路平曲线曲率圆内移值计算公式的推导［J］.城市建设，2010（13）：441.