基于伴随向量系的自由振动系统的动力响应分析

刘国松，刘 莹

（长春工程学院理学院，长春130012）

0 引言

非对称性对系统的影响之一是仅使用右模态已不能满足需要，其内部的正交性已经退化，因此必须引入左模态［1］。而重复频率现象对系统的影响是左、右模态的正交性也存在退化。这是因为若频率发生重复，则这些左、右状态向量不再能保证正交性。可以证明不同特征值所对应的左、右状态向量之间仍然是正交的［2］，但对于重频所对应的那些左、右状态向量却无法证明它们存在正交性［3］，此时施密特正交化技术的应用也存在困难。这是因为相对于对称重频系统来说，因为重特征值所对应的所有特征向量满足的是同一特征方程［4］，根据酉空间理论实施正交化后是满足原特征方程的，仍然为该重特征值的特征向量，但对于非对称重频系统左、右状态向量所满足的特征方程已不同，如何进行正交化策略还有待进一步研究。本文指出这种情况下，需摒弃左状态向量，直接引入右状态向量的伴随向量，将二阶非对称系统的运动微分方程转入状态空间中，将状态方程化为系列的一阶线性微分方程，在每一维坐标下进行动力响应分析。本文方法不仅适用于单频系统，也适合于重频系统，不仅适用于对称系统，也适用于非对称系统。

1 基本理论

对自由度为n的阻尼系统，设M、C、K分别是对称或非对称的质量、阻尼和刚度矩阵，相应的运动微分方程为

对此有阻尼振动系统，为了讨论其特征问题，引入状态方程［5］。对线性振动系统的运动方程式（1），设

代入方程（1），则该二阶系统将转化为如下一阶系统：

其中

称为系统的状态矩阵。对一般动力系统（1），把时间域上的矩阵方程变换到以λ为变量的拉氏域中，并假定初始位移和初始速度均为零，其特征方程为

下文记为

并满足方程

状态向量的前n维即为系统（1）的模态振型｛ui｝，即特征对（λi，ui）满足方程

2 基于伴随向量系的自由振动系统的动力响应分析

其中（·）H为（·）的共轭转置。对于完备重频系统，重频所对应的状态向量之间不存在足够的双正交性［2］。但无论上述两种情况的哪一种，2n个状态向量｛g1｝，｛g2｝，…，｛g2n｝的线性无关性是必定存在的，因此G可逆，故引入状态向量的伴随向量系Ψ＝［｛ψ1｝，｛ψ2｝，…，｛ψ2n｝］，它们可以满足良好规范正交关系

对方程（1）建立的状态方程

引入坐标变换

其中 ｛q（t）｝为模态坐标向量，代入状态方程（9）并左乘ΨH，根据左、右状态向量的正交性关系（7）和式（8），则有

展开写成

其中｛·｝i代表向量｛·｝的第i维。由此式（12）可表达为

这是一个可分离的微分方程，即

两边积分为

整理得

任意常数C由初值条件决定。解得 ｛q（t）｝，然后代入式（10）解得 ｛y（t）｝，由式（2）可知取前n维即为自由振动响应。

［1］Adhikari S，Friswell M I.Eigenderivative analysis of asymmetric non－conservative systems［J］.International－Journal for Numerical Methods in Engineering，2001，51：709－733.

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