齐型空间上带非光滑核的奇异积分算子构成的多线性交换子的Lipschitz估计

孙爱文,陈 红,束立生

(安徽师范大学 数学计算机科学学院,安徽 芜湖 241003)

0 引 言

Rn上的奇异积分算子及其交换子是调和分析研究的主要内容. 自Duong等[1]给出带非光滑核的奇异积分算子的定义及Pérez等[2]给出多线性交换子的定义以来,关于带非光滑核的奇异积分算子生成的多线性交换子的研究已取得许多结果[3-10]. 本文讨论带非光滑核的奇异积分算子T与函数b(b∈Lipβ)生成的多线性交换子,得到了其是从Lp(X)到Lq(X)有界的.

定义1[3]设X是一个集合,在X上赋予一个正则的Borel测度μ及一个拟距离d. 对于d,存在常数kd≥1,使得∀x,y,z∈X,有d(x,y)≤kd(d(x,z)+d(z,y));若μ满足双倍条件,即存在常数C≥1,使得∀x∈X和r>0,有μ(B(x,2r))≤Cμ(B(x,r))<∞,其中B(x,r)表示以x为中心、r为半径的拟球. 则称(X,d,μ)是一个Coifman-Weiss意义下的齐型空间.

由于齐型空间上的μ满足双倍条件,因此有如下性质[4]:

1) 存在常数C>0,γ≥1,齐型空间的维数n,使得μ(B(x,γr))≤Cγnμ(B(x,r));

2) 存在常数C和N(0≤N≤n),使得

μ(B(y,r))≤C(1+d(x,y)/r)Nμ(B(x,r)), ∀x,y∈X,r>0.

(1)

|at(x,y)|≤ht(x,y)=(μ(B(x,t1/δ)))-1·s(d(x,y)δt-1),

其中:δ是大于零的常数;s是一个正的有界递减函数,且满足:

(2)

这里的0<ε<1. 则称一族算子{At}t>0为“广义恒等逼近”.

定义3[6]如果算子T在L2(X)上有界,且存在核K(x,y),使得

1) 存在“广义恒等逼近”{Bt}t>0,使得TBt是以kt(x,y)为核的算子,T-TBt是以K(x,y)-kt(x,y)为核的算子,并且存在常数c1,ρ>0,使得该核满足

2) 存在“广义恒等逼近”{At}t>0,使得AtT是以Kt(x,y)为核的算子,T-AtT是以K(x,y)-Kt(x,y)为核的算子,且该核满足

|Kt(x,y)|≤c2(μ(B(x,t1/δ)))-1,d(x,y)≤c3t1/δ,

(3)

这里α>0.

定义4[7]设(X,d,μ)是一个齐型空间,0<β<1,齐型空间上的Lipschitz空间定义为

设b=(b1,b2,…,bm),bj∈Lipβ(j=1,2,…,m)为X上固定的局部可积函数,则由带非光滑核的奇异积分算子T和b生成的多线性交换子定义为

本文出现的常数C>0,在不同之处表示不同的值.

1 引 理

引理1[1]1

引理2[8]对0<β<1,1≤r≤∞,令

设r

‖Mβ,r(f)‖Lq≤C‖f‖Lp.

引理3[9]对0<β<1,1≤p≤∞,有

引理4[10]假设B1⊂B2,f∈ Lipβ(X),则|fB1-fB2|≤C‖f‖Lipβμ(B2)β,其中B1,B2均为齐型空间上的拟球.

引理5令{At}t>0为“广义恒等逼近”,0<β<1,b∈Lipβ(X),1≤p≤∞. 则对一切f∈Lp(X)和x∈X,有:

证明：1) 设f∈Lp(X),1≤p≤∞,对任意的x∈X,B为包含x的任意拟球,则

先估计Ⅰ. 通过式(1),可得μ(B)≤C2Nμ(B(x,rB)),对于任意的x∈B,如果x∈B,y∈2B,则有

因此,由引理3和引理4,可得

对于Ⅱ,x∈B,y∈2k+1B2kB,则d(x,y)≥2k-1rB,由齐型空间的性质,有

类似于Ⅰ的估计,有Ⅱ≤C‖b‖LipβMβ,1(f)(x). 综合Ⅰ,Ⅱ的估计,1)得证.

同理,可以证2).

2 主要结果

定理1设0<β<1/m,1

因此

对于J1(x),应用引理2及引理3,有

对于J2(x),固定1

对于J7(x),由式(3)及μ的双倍条件,有

因此

综上估计,有

由引理2及T在Lp(X)上的有界性,有

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