独立情形下一阶矩收敛的精确渐近性的注记

孙晓祥,杨丽娟

(吉林农业科技学院 文理学院,吉林 吉林 132101)

目前,关于随机变量列重对数律、完全收敛及矩重对数律的精确渐近性质已有许多研究结果[1-8].文献[9]给出了关于独立和NA列部分和精确渐近性的一般形式,揭示了拟权函数、边界函数、收敛速度和极限状态间的密切联系.

本文若无特别说明,均以C表示不同的正常数,N表示标准正态随机变量.

定理1[10]对于任意的d>0和β>0,

成立的充要条件是

EX=0,EX2=σ2.

(1)

本文对于普通的拟权函数和边界函数,将上述结果推广到如下更一般的形式.

定理2设0

1)g(x)↑∞,x→∞;

则

(2)

成立的充要条件是式(1)成立.

注1由于在上述级数中增加或减少有限项不改变结果,故为简便,以下一律从n=1开始记,并假设g(x)和g′(x)(或ψ(x)等)在[1,∞)上有定义并单调,不影响g(x)的普遍性.

注2满足定理2条件的g(x)有很多种,如xα,logβx,loglogγx,α>0,β>0,γ>0等,但指数函数不在此列.

注3在定理2中,令g(x)=(loglogx)(2β+d)/2,s=d/(2β+d)(其中:β>0;d>0),即可得到文献[10]的定理1,从而推广了已有的结果.

令a(ε)=g-1(Mε-1/s),M为任意正实数,g-1(x)为g(x)的反函数.

要证明式(1)⟹式(2),此时不妨假设σ=1.

命题1在定理2的条件下,有

证明: 由注1知,可以在[0,1)中对g(x)作适当的补充定义,使g′(x)保持单调性.做变量代换t=εgs(y),得

由定理2中条件1)和2),有

事实上,当ψ(x)单调非增时,式(3)显然成立;当ψ(x)单调非降时,由定理2中条件2)知,对∀δ>0,存在正整数κ,使得当x>κ时,总有ψ(x)≤(1+δ)ψ(x-1),从而

令δ↓0,即得式(3)中右边不等式.同理可得式(3)左边不等式.命题1证毕.

命题2在定理2的条件下,有

(4)

由Δn的定义及Markov不等式知

证明: 注意到定理2中条件2),类似命题1,可得

命题4在定理2的条件下,有

(5)

证明: 由引理1,可得

其中T>1/(2s).

首先考虑K2,注意到01/s>1,

其次考虑K1,为方便不妨假设T=1,

证毕.

下面证明定理2.由命题1～命题4及三角不等式可证得式(1)⟹式(2).下面证明式(2)⟹式(1).

首先证明EX=0.由式(2),对于任意的ε>0,有

因此EY2≤4σ2.从而令K→∞,有EX2<∞.

最后,同理可证

与式(2)相比较,可得EX2=σ2.

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