和与积相等的矩阵对及其多项式表示

陈梅香,吕洪斌,冯晓霞,杨忠鹏,徐晨雨

(1.莆田学院 数学系,福建 莆田 351100；2.北华大学 数学学院,吉林 吉林 132033；3.漳州师范学院 数学系,福建 漳州 363000；4.厦门大学 数学科学学院,福建 厦门 361005)

0 引 言

由于和与积相等的矩阵对[1]性质优良,因此引起人们广泛关注[2-9].约定矩阵类(A,B)∈Tn()={A,B∈n×n|A+B=AB},用C(A)={X∈n×n|AX=XA}和W(A)={g(A)|g(x)∈[x]}分别表示由给定A∈n×n所确定的n×n交换子空间和多项式子空间,显然W(A)⊆C(A).由文献[2-3]知,当(A,B)∈Tn()时,必有AB=BA.

命题1[1]设(A,B)∈Tn(),若A有n个不同的特征值,则存在u(x)∈[x]且degu(x)≤n-1,使得B=u(A).

本文先证明了(A,B)∈Tn()的Jordan标准形具有互为确定的关系,然后作为应用,给出了用mA(x),fA(x),C(A),W(A)所确定的积与和相等的矩阵对A,B的多项式表示的新结论,从而推广了文献[1]的相应结果.

1 积与和相等的矩阵对的Jordan标准形

由n次幂零矩阵的性质易得: 由λ(≠0)∈所确定的Jordan块矩阵J=λE+Nn∈n×n,从而

(1)

由此及Jordan标准形的性质易得:

引理1设可逆矩阵A∈n×n的Jordan标准形

JA=diag(J1(A),J2(A),…,Js(A)),

(2)

(3)

则A-1的Jordan标准形

JA-1=diag(J1(A-1),J2(A-1),…,Js(A-1)),

(4)

由式(1)知,Jordan块矩阵J=λE+Nn(λ≠0)的逆J-1一般不再是Jordan块矩阵,因此,一般Ji(A-1)≠Ji(A)-1,但Ji(A-1)与Ji(A)具有相近的密切关系(见式(3),(4)).

引理2[1]设(A,B)∈Tn(),则:

1)AB=BA；

2)A,B的特征值均不为1；

4)A-E与B-E互为逆矩阵.

当(A,B)∈Tn()时,由引理3知JA-E=JA-E,JB-E=J(A-E)-1,这样由式(1)及引理1和引理2易得:

定理1设(A,B)∈Tn(),A的Jordan标准形如式(2),(3),则B的Jordan标准形为

diag(J1(B),J2(B),…,Js(B))=JB,

引理3[6]设A∈n×n的所有不同特征值为λ1,λ2,…,λt,则A的最小多项式其中ki为特征值λi确定的Jordan块的最高阶数；同时,A可对角化⟺mA(x)=⟺A的每个Jordan块都是1阶的.

由引理2和定理1可得:

定理2设(A,B)∈Tn(),如果λ1,λ2,…,λt是A的所有两两不同的重数分别为n1,n2,…,nt的特征值,且A的特征多项式和最小多项式分别为

(5)

(6)

fA(x)=mA(x) ⟺fB(x)=mB(x).

(7)

定理1和定理2表明,当(A,B)∈Tn()时,JA与JB互为确定,从而fA(x)与fB(x),mA(x)与mB(x)与也互为确定.于是由引理3和定理2及式(5),(6)可知: 当(A,B)∈Tn()时,A可对角化⟺B可对角化;当(A,B)∈Tn()时,A有n个不同的特征值 ⟺B有n个不同的特征值.

于是命题1可改进为：

推论1设(A,B)∈Tn(),如果A,B之一有n个不同的特征值,则存在u(x),v(x)∈[x]且degu(x),degv(x)≤n-1,使得B=u(A),A=v(B).

2 和与积相等的矩阵对的多项式表示

非减次矩阵是一类重要的矩阵,且A是非减次矩阵的充要条件是

fA(x)=det(xEn-A)=mA(x),A∈n×n.

(8)

非减次矩阵A∈n×n具有如下性质[6]：B∈n×n与A可交换⟺存在u(x)∈[x]且degu(x)≤n-1,使得B=u(A).

设A∈n×n,则有[5,7]：

C(A)=W(A) ⟺ degmA(x)=n⟺ dimC(A)=n⟺ dimW(A)=n,

(9)

式中dimC(A)和dimW(A)分别表示C(A)和W(A)的维数.

定理3设(A,B)∈Tn(),且A的Jordan标准形如式(2),(3)所示.如果满足下列条件之一,则存在u(x),v(x)∈[x]且degu(x),degv(x)≤n-1,使得B=u(A),A=v(B)：

1) degmA(x)=n;

2) degmB(x)=n;

3)C(A)=W(A);

4)C(B)=W(B);

5) dimC(A)=n;

6) dimC(B)=n;

7) dimW(A)=n;

8) dimW(B)=n.

证明: 1) 当degmA(x)=n时,由degfA(x)=n和mA(x)整除fA(x)知fA(x)=mA(x),由式(8)知A是非减次的,又由引理2和非减次矩阵的性质知,存在u(x)∈[x]且degu(x)≤n-1,使得B=u(A)；此时由式(7)可得fB(x)=mB(x),再由引理2和非减次矩阵的性质知,存在v(x)∈[x]且degv(x)≤n-1,使得A=v(B).

2) 当degmB(x)=n时,类似1)知fB(x)=mB(x),再应用式(7)知,必有degmA(x)=n,从而由1)知存在u(x),v(x)∈[x]且degu(x),degv(x)≤n-1,使得B=u(A),A=v(B).

1)和2)的讨论表明,当(A,B)∈Tn()时,degmA(x)=n⟺ degmB(x)=n,因此由式(9)可得

从而由1)和2)知定理3所有的结论成立.证毕.

显然,文献[1]所得命题1是定理3的一个特例.

比较得B=u(A)=-A-A2-A3,即有u(x)=-x-x2-x3,使得B=u(A),类似可知有v(x)=-x-x2-x3,使得A=v(B).

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