离散周期系统多重正解的存在性

张 丽 娟

(白城师范学院 数学学院,吉林 白城 137000)

0 引言及预备知识

目前,关于非线性离散周期问题的研究已有许多结果[1-8].本文考虑周期系统:

(1)

其中:

ak(i+T)=ak(i);fk(i+T,x,y)=fk(i,x,y);k=1,2;T>0.

(2)

本文讨论系统(1)非线性项在x=0处具有奇性,在x=+∞处是超线性的,利用Krasnoselskii不动点定理证明了系统(1)在一定的条件下存在周期正解.

1)x≠λφx,∀λ∈[0,1],x∈K∩∂Ωr;

2) 存在ψ∈K{0},使得x≠φx+δψ,∀x∈K∩∂ΩR,δ≥0.

注1在引理1中,若将1),2)分别替换为下列条件,则φ在K∩(x∈X:r<‖x‖

1 主要结果

假设条件:

(H0)fk:Z(-∞,+∞)×[0,+∞){0}→[0,+∞)是连续的,ak(i)∈C(Z(-∞,+∞),(0,+∞)),ak(i+T)=ak(i)fk(i+T,x,y)=fk(i,x,y),k=1,2,T>0;

(3)

(H3) 存在p>0,使得当σ1p≤x≤p,σ2p≤y≤p时,fk(i,x,y)

(H4) 存在p>0,使得当σ1p≤x≤p,σ2p≤y≤p时,fk(i,x,y)>ak(i),0≤i≤T-1.

因此,求解离散方程组(1)的周期正解等价于求解下列方程组的周期正解:

(4)

注意到式(4)等价于方程(x,y)=φ(x,y),其中φ由下式定义:

∀(x,y)∈X.

显然,φ是连续的且为X上的全连续算子.

设K1={x∈Y:x(i)≥0且x(i)≥δ1‖x‖},K2={y∈Y:y(i)≥0且y(i)≥δ2‖y‖},K=K1×K2,其中δk(k=1,2)由式(3)定义,易证K是X中的锥.

引理2假设条件(H0)成立,则φ(K)⊆K.

证明：对任意的x∈K1,有

则(φx)(i)≥(A1/B1)‖φx‖=δ1‖φx‖,类似地有(φy)(i)≥(A2/B2)‖φy‖=δ2‖φy‖,因此φ(x,y)∈K.

定理1假设条件(H0),(H1),(H3)成立,则方程组(1)至少有两个正解(x1,y1),(x2,y2),且0<(x1,y1)

证明：由(H1)的第一个不等式知,存在00,使得fk(i,x,y)≥ak(i)(1+ε),0≤x,y≤r,k=1,2.令ψ=(1,1),往证

u≠φu+δψ, ∀u∈K∩∂Ωr,δ≥0.

(5)

假设式(5)不成立,则存在u0=(x0,y0)∈K∩∂Ωr及δ0≥0,使得u0=φu0+δ0ψ.由

f1(j,x(j),y(j))≥a1(j)(1+ε), 0≤x,y≤r,j∈Z(-∞,+∞),

即u≥u(1+ε),矛盾.

下证存在

p>0,u≠λφu, ∀u∈K∩∂Ωp,λ∈[0,1].

(6)

假设式(6)不成立,即∃u0=(x0,y0)∈K∩∂Ωp,λ0∈[0,1],使得u0=λ0φu0.不妨设λ0>0,由于u0=(x0,y0)∈K∩∂Ωp,且‖(x0,y0)‖=p.不失一般性,设‖x0‖=p,即∀j∈Z(-∞,+∞),有δ1p≤x0(j)≤p,从而由(H3)不等式,有f1(j,x0(j),y0(j))

即‖x0‖=p

由式(5),(6)及注1知,算子φ存在一个不动点(x1,y1)∈K,且r<‖(x1,y1)‖

由(H1)的第二个不等式知,存在r1>p及ε>0,使得fk(i,x,y)≥ak(i)(1+ε),x,y≥r1,k=1,2.令ψ=(1,1),往证

u≠φu+δψ, ∀u∈K∩∂ΩR,δ≥0.

(7)

即u≥u(1+ε),矛盾.

由式(6),(7)及引理1知,算子φ存在一个不动点(x2,y2)∈K,且p<‖(x2,y2)‖

同理有:

定理2假设条件(H0),(H2),(H4)成立,则方程组(1)至少有两个正解(x1,y1),(x2,y2),且0<(x1,y1)

注2在定理1的解(x1,y1)∈K存在证明中,仅需要假设条件(H0),(H3)成立,且(H1)第一个不等式成立,而解(x2,y2)∈K的存在证明中,要求假设条件(H0),(H3)且(H1)的第二个不等式成立.

2 应 用

例1考察如下方程组:

(8)

其中:ak(i)∈C(Z(-∞,+∞),(0,+∞));bk(i)∈C(Z(-∞,+∞),(0,+∞));ak(i+T)=ak(i),bk(i+T)=bk(i);k=1,2;T>0;α>0;β>0.

则假设条件(H4)成立.由定理2知上述结果成立.

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