一类边界退化抛物系统的近似可控性

杜润梅,祝英杰

(1.长春工业大学 基础科学学院,长春 130012；2.长春大学 理学院，长春 130022)

考虑边界控制问题:

其中: 0<α<1;g∈L2(0,T)且具有紧支集;u0∈L2(0,1).本文证明了问题(1)-(3)是近似可控的,即对任意的ε>0,ud∈L2(0,1),存在控制函数g∈L2(0,T),使得‖u(x,T)-ud(x)‖L2(0,1)≤ε.

对于非退化抛物方程的可控性研究目前已有较完善的结果[1-3],而退化抛物方程的可控性研究结果还较少[4-7].特别地,文献[4-5]研究了如下退化抛物方程:

ut-(xαux)x=hχω, (x,t)∈(0,1)×(0,T),

(4)

其中:α>0;T>0;h∈L2((0,1)×(0,T))是控制函数;ω=(x0,x1)⊂(0,1)是控制区域.方程(4)可用于描述一些物理模型,例如研究平板上层流的速度场简化模型.方程(4)在x=0处是退化的,并且当0<α<1时,其为弱退化的;当α≥1时,其为强退化的.文献[4-5]中,方程(4)的边值条件为

(5)

初值条件为

u(x,0)=u0(x),x∈(0,1),

(6)

其中u0∈L2((0,1)).文献[4-5]证明了系统(4)-(6)当0<α<2时是零可控的,而当α≥2时不是零控的.Cannarsa等[6]研究了边界控制问题(1)在条件

u(0,t)=g(t),u(1,t)=0,t∈(0,T)

(7)

且在迹的意义下u(1,·)=0于(0,T).其中,

为了证明问题(1)-(3)解的适定性,考虑正则化问题:

其中0<η<1.

通过对正则化问题的解做能量估计,可得:

命题1对任意具紧支集的g∈L2(0,T)和u0∈L2(0,1),问题(8)-(10)的解满足

类似文献[8]的定理3.1,通过取极限的方法,可以证明问题(1)-(3)解的适定性.

则v(x,t)=0,(x,t)∈(0,1)×(0,T).

引理2假设u0=0,u(x,t)是问题(1)-(3)的弱解,则对任意具紧支集的g∈L2(0,T),有

(11)

其中v(x,t)是问题:

的弱解.

(15)

又由于u(x,t)是问题(1)-(3)的弱解,有

(16)

结合式(15),(16),可得式(11).证毕.

命题2假设u0=0,则问题(1)-(3)是近似可控的.

由命题2可知,当u0=0时,问题(1)-(3)是近似可控的.下面证明在一般情形时问题(1)-(3)的近似可控性.

定理2对任意的u0∈L2(0,1),问题(1)-(3)是近似可控的.

证明: 对任意的ε>0,ud(x)∈L2(0,1),由命题2知,存在g∈L2(0,T),使得问题:

(17)

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