裂缝与井筒成任意角度的压裂水平井产能公式

张德良，张芮菡，张烈辉，陈 军，杨学锋，张小涛

1)西南石油大学油气藏地质及开发工程国家重点实验室，成都610500;2)中国石油西南油气田分公司勘探开发研究院，成都610051

压裂水平井能大幅提高低渗透致密气藏的单井产能，因此越来越多地应用于低渗透气田开发中.近年来，国内外学者对压裂气井产能预测进行了深入研究，提出了一系列产能预测公式.Li等［1］利用等值阻力法和压降叠加原理，推导裂缝水平井稳态产能公式;Guo等［2］建立一个综合模型来预测和优化多裂缝压裂水平井产能，通过耦合储层和裂缝中的径向流和线性流，完善了近井地带渗流特征的刻画，且计算精度高;Cipolla等［3-5］运用数值模拟方法，对致密储层体积压裂形成的复杂缝网模型进行产能预测及影响因素分析.针对中国气藏水平压裂井开发情况，孙福街等［6］基于复位势理论和叠加原理计算气藏垂直裂缝水平井产能;张德良等［7］利用当量井径概念，确定带多条横向裂缝的压裂水平井产能公式，动态分析裂缝条数、物性参数等对裂缝流量分布的影响.上述模型求解过程中，未考虑裂缝与井筒倾斜角度对产能的影响，针对气井产能计算，多采用压力平方形式简化公式［8］，计算结果存在一定误差.

对于裂缝与水平井成任意角度时的产量预测，徐严波等［9-10］基于不稳定渗流理论，通过离散裂缝网格和势叠加原理的方法，建立压后产能半解析模型.模型中认为各微元段产量相等，忽略了微元段裂缝间的相互干扰问题，计算结果存在一定误差.本研究基于文献［11-12］，运用势叠加原理和坐标变换方法，探讨气藏压裂水平井稳态产能.采用气藏拟压力形式，考虑裂缝与井筒夹角，裂缝半长、导流能力和分布变化对产能的影响，从而达到准确预测气藏压裂水平井产能的目的.

1 渗流模型的建立

设上下边界封闭的横向无限大非均质气藏中心有一口压裂水平井，储层厚度为h;水平渗透率为Kh;水平井长度为L;裂缝条数为n且穿过整个油层厚度;裂缝渗透率为kf，缝宽为w;水平井段没有进行补孔，忽略流体在水平井筒中渗流时的摩阻损失，则流体会先由地层流入裂缝，再沿裂缝流入井筒［1］，水平井的产量将等于每条裂缝产量之和.

由复位势理论知，假设在(x，y)平面上有一条垂直裂缝与x轴平行，裂缝半长为Lf，与x轴距离为y0，裂缝流体地面流量为 Qf(单位:m3/d)(图1).

图1 带一条垂直裂缝的水平井简图Fig.1 Skematic diagram of horizontal well with one vertical fracture

由复位势理论可知，在整个二维平面上所产生的势分布为

其中，B为体积系数.

在渗流力学中，这属于多条裂缝井的相互干扰问题.为计算该井产量，设裂缝条数为奇数，每条裂缝缝与水平井所成夹角均为α°，以中间裂缝中点为原点建立如下直角坐标系(x，y).利用坐标变换(图2)，使坐标系(x'，y')的x'轴与裂缝的延伸方向相同.在图2中，由(x，y)坐标到(x'，y')坐标变换满足

根据复位势理论，考虑式(1)的适用范围和条件，在(x'，y')坐标系中满足

图2 任意角度裂缝分布示意图Fig.2 Skematic diagram of fractures with random angles

其中，y0'为(x'，y')平面内任意一点到x'轴的距离.当裂缝等缝长，垂直于井筒等间距排列时，其分布满足文献［6］中等间距和等缝长垂直横切裂缝水平井的情况.设所有裂缝底部的压力都等于井底压力，其产能方程可推导为

其中，i和j为裂缝条数;ψe为气藏原始地层拟压力(单位:MPa2/(mPa·s));ψwf为裂缝底部拟压力(单位:MPa2/(mPa·s));Re为供给半径(单位:m);Qscfi为第i条裂缝地面产量(单位:m3/d);T为地下温度(单位:K);Kh为储层渗透率(单位:μm2);Kf为裂缝渗透率(单位:μm2);w为裂缝宽度(单位:m);h为储层厚度(单位:m);rw为井筒半径(单位:m);β为转换系数，β=0.271 4;d为裂缝间距(单位:m)，d=L/n(n为奇数时)，d=L/2n(n为偶数时).

当裂缝不等长，间距不相等，与水平井筒呈任意角α排列时，依据复位势理论和叠加原理，结合式(3)，可得平面上任意一点在(x'，y')坐标系内的势分布为

考察在(x'，y')坐标系内在轴上无穷远处一点(0，Re)，其在(x，y)坐标系内的坐标为(-Resin α，Recos α).其中，Re为供给边界，则供给边界的势为

整理式(6)可得

对任意裂缝i，由式(5)任意一点势分布得裂缝右翼尖端的势为

将式(2)代入式(9)，整理可得

其中，lfri为第i条裂缝右翼长度(单位:m);xi为第i条裂缝在(x，y)坐标系内的起裂点位置.同理可得裂缝左翼尖端的势为

其中，lfli为第i条裂缝左翼长度.

在实际情况中，裂缝并不一定与水平井筒对称，根据叠加原理，取裂缝左右两翼尖端的平均势作为尖端的势［10］:

虽然裂缝与水平井筒成一夹角，但裂缝内的流体从裂缝边缘向井筒周围聚集，若忽略重力影响，仍可看成是厚度为 w，流动半径为［(lfli+lfri)h/π］1/2，边界压力为 pfi的平面径向流［9］.

不考虑裂缝表皮因子造成的压降，则式(13)成立.假设所有裂缝底部的压力都等于井底压力，同时结合拟压力函数的定义和真实气体的状态方程，

其产能公式可推导为

其中，

2 模型求解

在模型推导过程中，采用气体拟压力形式，求解时需要根据气藏的实际物性参数建立拟压力与压力插值表，以便进行拟压力与压力的转换.

设有n条裂缝，分别给出各条裂缝在水平井筒上的起裂点位置坐标(xi，0)和裂缝长度lfi.这样就会产生一个有n个未知数和n个方程的方程组，所以此方程组可以封闭求解.采用高斯全选主元法对上式进行封闭求解，求出每条裂缝产量Qscfi.在水平井筒不补孔的情况下，压裂水平井的产量就等于每条裂缝产量之和.其水平压裂气井总产量Qsc为

3 实例计算及分析

3.1 计算结果

用Visual Basic 6.0编制模型及求解程序，用于中国西南部某气藏压裂水平井产能研究.

计算参数为:气层厚度8 m，气体黏度0.022 mPa·s，水平渗透率 0.5×10-3μm2，气体压缩因子 0.957，地层压力 27.75 MPa，井底压力 23.56 MPa，供给半径800 m，裂缝渗透率30 μm2，地层温度353 K，裂缝宽度0.005 m，井筒半径0.05 m，井筒长度400 m，裂缝倾斜角60°，裂缝半长50 m.

图3为压开3条裂缝，且倾角为60°的水平井在不同水平段长度下每条裂缝产气量的比较(按裂缝位置排列)，可以看出，端部裂缝的产气量高于中部裂缝产气量，裂缝产量由两端向中部递减.这主要是由多条裂缝干扰所致.为获得单井开采的最大经济效益，压裂施工中可适当缩短中部裂缝长度，增加端部缝长.

图3 不同水平段长度下裂缝产量分布Fig.3 Gas productivity distribution of each fracture under different horizontal lengths

3.2 影响因素

压开3条裂缝，裂缝半长50 m，井筒长度400 m情况下，裂缝等倾斜角度等间距排列.针对图4不同裂缝倾斜角度的情况(图4)，对水平井产气量进行对比分析可见，0°时产气量最低，90°时产气量最高，水平井水力压裂作业，压开垂直裂缝的增产效果最好.

图4 不同裂缝倾角下水平井产气量Fig.4 Gas productivity of a horizontal well with differentangles between fracture and horizontal wellbore

假定人工水力压裂裂缝半长为50 m，裂缝倾角均为60°，水平段长度400 m.在不同裂缝条数下，水平井产气量和产量增长率如图5.随着裂缝条数增加，水平井产量增大，但增长幅度不断减小，超过某一范围后，增量变化细微.同时，裂缝条数增加，施工成本和难度也相应增大.本研究认为，在水平段长度一定情况下，综合考虑经济效益和施工成本，水平井水力压裂裂缝条数最优值以3～5条为宜.

图5 裂缝条数与产量关系曲线Fig.5 Gas productivity of horizontal well under different fracture numbers

图6 水平段长度与产气量的关系曲线Fig.6 Relationship between horizontal well length and gas production

图6为压开3条裂缝下，水平井产气量随井筒长度变化关系图.在裂缝条数一定时，一方面，为减小裂缝间干扰，增加气井的产量，需有较长的水平段;另一方面，水平段长度的增加，单位长度的产量反而降低.水平段长度的增加会大幅增加成本，这又要求尽可能减少水平段长度.综合两者存在一个最优值范围，使经济效益最高.本实例中压开3条裂缝，水平段长取300～500 m为宜.

在裂缝半长为50 m和100 m，且其他计算参数保持不变，由缝长对不同渗透率气藏单井产能增加倍数曲线(图7)可见，储层渗透率越高，缝长倍增后的增产效果越差.取裂缝导流能力分别为0.15 μm2·m和0.3 μm2·m，保持其他参数不变，分析导流能力对不同气藏渗透率下单井产能增加倍数曲线(图7)，储层渗透率越低，裂缝导流能力倍增之后，增产效果越差.因此，对于低渗透储层，为提高压裂效果，应以增加裂缝长度为主;对于高渗透地层，提高裂缝导流能力是提高压裂效果的主要途径［13］.

图7 缝长和导流能力对增产效果的影响Fig.7 Effects of fracture length and conductivity on the stimulation

不同裂缝位置分布如图8，在均匀分布、裂缝在水平井端部密集和在中间部分密集3种情况下，水平井产量为:4.554×104、4.968×104和3.942×104m3/d.由此可知，为获得单井最大产量，压裂裂缝在端部的间距应小于中部裂缝的间距.

图8 裂缝位置分布图Fig.8 Skematica diagram of different fracture locations

结 语

综上研究可知:① 压裂水平井裂缝产量是非均匀的，呈近似对称分布，且端部缝产量高于中部裂缝产量.同时，裂缝分布对产能存在影响，为获得单井最大产量，端部缝间距应小于中部缝间距;②随着压开裂缝倾斜角度的增加，水平井产气量也变大.0°时产量最低，90°时产量最大，因此，水平井水力压裂，压开垂直裂缝的增产效果最好;③随裂缝条数增加，水平井产量增大，但增幅不断减小，裂缝条数存在最优值，本实例认为取3～5条为宜;④水平段长度增加，水平井产气量增大，单位水平段产量不断减小.为减少成本，获得最大单井效益，本实例水平段长度取300～500 m;⑤低渗透气藏，提高压裂效果，以增加裂缝长度为主，提高裂缝导流能力对其影响不大.

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