一种弹簧—滑块系统的非线性振动

吴 波，付秀英，高钦翔

（1.遵义师范学院物理与机电工程学院，贵州遵义563002；2.遵义师范学院组织部，贵州遵义563002）

摆动是一种常见的机械运动，它广泛地出现在我们的生产、生活之中。在大学物理的教学中，对摆动的讨论一般局限于简谐摆，例如单摆，复摆和扭摆等。这样的简谐摆模型通常是一种理想模型，可以通过求解这个模型的二阶线性动力学微分方程来获得解的特征。然而，自然界的大多数摆动都是复杂的，简单的简谐模型不足以很好解释它们独特的运动特征。阻尼、外场等诸多非线性因素的存在，必将给摆动系统带来区别于线性系统的动力学行为。因此，非线性振动系统对于人们认识复杂的摆动现象也是非常重要的，应该值得大家的关注。

本文以一个典型的弹簧―滑块非线性系统为例，建立其动力学微分方程，继而利用四阶Runge-Kutta法进行数值求解。最后，通过对其解的时域图和相图分析，并与微振动下简析解进行对比，以揭示弹簧―滑块非线性振动系统独特的运动学特征。

1 弹簧―滑块系统的动力学微分方程

图1 弹簧－滑块模型示意图

如图1所示，质量为m的滑块在无摩擦的杆上水平滑动。它被一个弹性系数为k的弹簧连接在一个固定在杆下面中心处的支点上。弹簧自然状态下的长度就是支点到杆的垂直距离，并与杆交于O点[1]。可以想象，O点将是整个滑块往复运动的中心，因而可以以O为原点，杆的水平向右方向为x轴正方向，建立直角坐标系。通过对滑块受力分析，可着回复力的角色，l因而可以利用牛顿第二定律，建立运动微分方程：

可以看出，（1）式等号左边的第三项是非线性项，从而使得整个系统不能按照一般的线性微分方程来处理。

2 数值求解与讨论

2.1 解的一般特征

其中，方程组（2）中x(1)和x(2)对应原方程满足初始条件：x(1)t=0=x0；x(2)t=0=v0。

对（2）式及其初始条件所描述的微分方程，我们基于M atlab数值计算程序，利用四阶Runge-Kutta法进行了数值求解，如图 2（a）和（b）所示，分为m=1，k=10，l0=10,x0=4，和v0=0时的时域图和相图。由图2（a）可以看到，由于非线性项的制约，整个滑块的运动并不是简谐的。特别在临近平衡位置的部分，时域图与一般的正余弦运动规律相差较大。从图（b）的相图可以看出，相图是一个首尾相连的闭合曲线，表明这是一个非耗散的往复振动形式。但是在接近平衡点的地方，曲线接近直线，与一般的简谐振动形式发生较大变化。为进一步深入理解这种非线性系统的运动学特征，需要分别对一些特殊情况进行分析，尤其是远离平衡点的巨振动和平衡点附近的微振动行为。

图 2 方程（2）解的特例，（a）时域图和（b）相图

2.2 (巨振动)x>>l0

当x>>l0时的远域行为，方程（1）可以进行化简：

为线性非齐次微分方程。一般情况下，可以通过先求其次方程的通解，然后寻找相应非齐次方程的一个特解来构成整个方程的解。但是，尽管如此，这样的求解仍然比较繁杂，我们因此采取Maple符号计算平台，利用Laplace变化进行求解，类似的方法在我们的前期工作中有详细的阐述[2]。最终，我们得到方程（3）满足；x(0)=x0；dx 0 dt=v(0)=v0初始条件的解析解：

为体现非线性项对方程（1）的影响，我们将方程（1）的数值解与方程（4）的解析解进行比较。其中令方程（1）和（4）中的参数：m=1，k=10，l0=2 和初始速度v0=0。而初始位置为体现解的差异，分别取初始位置x0=40和x0=4000进行分别求解，分别绘制它们的时域图和相图，从图3(a)和(b)可以明显看出，当x0=4000时，相对于l0=2比较大，此时的振动滑块大部分处于远离平衡位置的地方，从时域图和相图的比较发现，方程（1）此时的解退化为方程（4）所描述的振动情形。因而，可以大致认为x>>l0时，方程（1）是近似简谐的，振动行为对于振动与弹簧原长相比拟时不再成立。在图3(c)和(d)中可以看出，当x0=40时，与x0=4000时滑块已经大幅接近了振动平衡位置，这时方程（1）中非线性项的行为明显体现出来，使得其解与方程（4）描述的简谐解存在明显的差异。从图中可明显看出，这种差异主要出现在接近O点的附近。

图 3 x>>l0时方程（1）数值解（实线）和近似解析解（4）（*线）分别在x0=4000和l0=2时解的(a)时域图、（b）相图和x0=40和l0=2时解的(c)时域图及（d）相图。

2.3 (微振动)x<

方程（5）尽管简单，但难于解析求解。这里，我们仍然利用Runge-Kutta法进行数值求解，来与方程（1）的解做一个对比。

图4 x<

如图4所示，为方程（1）和（5）中的参数都设置为：m=1，k=10，l0=20和初始速度v0=0时解的时域图和相图。为体现这种微振动下解的特征，特例中分别取了初始位置 x0=2和 x0=10，利用四阶 Runge-Kutta法进行分别数值求解，绘制了它们的时域图和相图。从图4(a)和(b)可以明显看出，当x0=2时，相对于l0=20比较小时，方程（1）所描述的非线性振动与方程（5）描述的振动符合很好，表明微振动时，可以将方程（1）简化为方程（5），后者可以利用级数法获得其解。但是，当这样的振动振幅与弹簧原长相比拟时，如图4(c)和(d)所示，方程（1）的非线性行为使得其与方程（5）描述的振动相距甚远，而差异的主要位置仍是在接近平衡位置的地方。

3 总结

针对一个典型的弹簧―滑块非线性系统，利用四阶Runge-Kutta数值计算方法和Laplace变化等方式对其动力学行为进行了分析，尤其是其巨振动和微振动两个特殊情形分别近似处理和深入讨论。结果表明，这个系统中非线性项的行为主要集中影响滑块在临近平衡位置的振动，而当滑块远离平衡位置时，其

[1]C F Gerald，P O Wheatley.Applied Numerical Analysis[M].New Jersey:ADDISON WESLEY Publishing Company Incorporated，2004.

[2]吴波，杨秀德.RLC暂态电路的理论分析和数值模拟[J].物理与工程，2010，20(1):32-34.

[3]飞思科技产品研发中心.MATLAB7基础与提高[M].成都:电子工业出版社，2005.