从近三年高考理科数学试题谈高中统计与概率的教学

赵兴杰，蒋路琴

（遵义师范学院数学与计算科学学院，贵州遵义563002）

高中统计与概率教学内容分布在《普通高中数学课程标准（实验）》（简称《课标》以下同）教科书数学2第三章和选修2-2，在高考中所占的分值通常为20分左右，并且随着社会的发展，统计与概率知识已被广泛应用。因此，统计与概率是高中数学教学的重要内容之一。以研究高考试题来认识统计与概率教学内容、把握教学重点和教学要求是提高教学水平的重要途径之一。

近年来有不少研究高考统计与概率的文献。如文[4]通过对教材内容以及高考考点进行分析，得到高考考查的知识点，并提出了相应的复习建议；文[5]通过对2010年全国及各省（市、区）高考理科统计与概率试题的统计分析，得到主要的知识点与学生能力要求，并据此提出相应的教学建议；文[6]通过对比分析2009～2010年概率与统计试题在新课标下的考查特点、题型的演化趋势，预计高考概率统计的命题会在继续保持稳定的前提下有所创新；文 [7]对2009～2011年的高考概率统计试题进行了详细分析，并为高三复习提出了建议；文[8]选取2000～2004年高考数学理科概率统计试题进行分析，总结出高考中有关概率统计试题的解题方法。上述文献虽然从不同的角度对概率统计作了相应的探讨和研究，但从连续三年全国所有高考试题的研究来认识概率统计教学内容的文献尚未见发表。本文以2010～2012年高考理科概率统计试题为基本材料，在分析试题的知识点及能力要求的基础上，提出对高中统计与概率教学要求的认识和教学参考意见。

1 试题分析

1.1 主要知识点

1.1.1 统计部分

从近三年51套高考数学试题来看，统计部分试题都以离散型随机变量分布列、期望的求为主要知识点，一般出现在解答题中。有不少地区（如：2010年陕西、新课标、湖南、江西；2011年的广东、北京；2012年的江苏等）的命题考察了三大抽样方法（随机抽样、分层抽样、系统抽样）以及频率分布直方图。有部分地区还考察了正态分布（如：2010年的浙江、山东、广东、天津；2011年的湖北；2012年的新课标等）、均值与方差（如：2011年的北京；2012年的湖北、安徽）。有少数地区还考察了线性回归（如：2011年的陕西、山东、广东；2012年的湖南等）与茎叶图（2010年的天津；2011年的北京等）。

1.1.2 概率部分

概率部分在高考中的主要考点有：独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式（2010年的上海、重庆；2012年的天津、陕西）、n次独立重复试验中恰好（或至少、或至多）发生k次的概率（2010年湖北、重庆、四川、新课标、陕西；2011年重庆、湖北；2012年的江西、陕西等）、等可能性事件的概率（2010年的湖北、江苏、江西；2011年的湖南、江西；2012年的湖南、北京等）。其中重点是上述四种事件的概率，难点是如何在实际问题中区分独立事件、互斥事件与对立事件。

1.2 主要能力要求

通过对近三年统计与概率试题的统计来看，大多数试题的主要能力要求为：掌握频率与概率的关系、会求等可能性事件、对立事件、互斥事件、独立事件、n次独立重复事件恰好（至少、至多）发生k次的概率，并掌握他们之间的联系与区别，能根据所给条件选择正确的概率计算方法，构造离散型随机变量的分布列，并求数学期望；能根据简单随机抽样的统计图表计算某个频数、某一部分的样本容量以及相应的概率，运用概率知识解决实际问题；能根据样本的频率分布估计总体，会用样本的基本数字特征估计总体的数值特征；会根据实际情况选择适当的简单随机抽样方法，其中重点掌握分层抽样与系统抽样的方法；具有获取信息并对其进行分析和筛选的能力，能够从大量信息中筛选出与问题有关的信息。

2 高考统计与概率命题特点

近三年的高考试题，关于概率与统计的题型在传统中见创新，在题目的立意上一年比一年灵活、新颖，一般以中等难度或中等偏易题为主，其中统计约占5分左右，命题具有以下特点。

2.1 高考考查的重点

从51套试题的统计来看，对随机事件概率的考查主要体现在对概念的理解和公式的运用上，其中互斥事件、对立事件、独立重复试验、相互独立事件、等可能事件是高考考查的重点，一般会将这五种概率问题与离散型随机变量的分布列、数学期望、方差、独立性检验、抽样图表有机融合，以考察学生处理概率问题的方法、思维能力和运算能力。

2.2 离散型随机变量的分布列和期望是必考内容

从近三年的试题可以看出，离散型随机变量的分布列及其期望是全国卷、所有省（区、市）每年必考的内容，并且每年的要求都有所加强，几乎每年都会有一个大题，其中分类思想在其中的运用甚为广泛，同时也会与排列组合综合起来考察。

2.3 概率与其他知识综合

随着新课改的实施，高考概率试题出现了与其他知识点综合起来考察的现象：概率与数列、概率与排列组合、概率与函数、概率与方程、概率与线性规划化、概率与不等式等综合问题在高考中时有出现。如：2010年的福建卷将概率与不等式联系；2011年的海南卷将概率与函数联系起来考，尤其是2012年这种趋向表现得更加明显；2012年的广东卷将概率与方程联系起来，新课标卷主要考查分段函数模型，湖北卷将概率与方程综合，江苏卷考了概率与集合的综合问题。

2.4 统计与概率的融合也是近些年考查的热点

通过对近三年高考试题的研究发现，高考中频繁出现统计与概率的综合题，一般以通过统计图、表，将抽样方法与概率问题有机的结合起来考察，往往出现在解答题中，主要考察学生运用统计知识解决实际问题的能力、抽象概括和处理数据的能力以及知识点之间相互衔接的能力。

3 对统计与概率教学的几点启示

研究高考试题不是仅仅为了应对高考。其实高考的命题源于课程教学标准，高考的命题内容很大程度上反映了课程标准的教学要求，并且能够引导教育者加深对教学内容和教学方式的认识。据此，对高中数学统计与概率的教学有以下启示。

3.1 注重对概念的理解

从上述高考命题特点分析以及高考题型可以看出，统计与概率中的离散型随机变量的分布列及其期望是历年所有试卷的必考内容，而这一部分内容是以对立事件的概率、互斥事件的概率、在n次独立重复试验中恰好（或至少、或至多）发生k次的概率等常见的概率的计算、古典概型、几何概型的概率计算为基础，要想真正理解这部分的内容，就必须理解概率的概念、互斥事件、独立事件、古典概型、几何概型的概念，掌握互斥事件、独立事件、对立事件之间的联系与区别。

3.2 使学生体会用样本估计总体及其特征的思想

《课标》要求：“让学生体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列分布表、画直方图、折线图、茎叶图等[1]”，“以数据进行推断的思考方式已成为现代社会普遍应用的思维模式，以样本估计总体是统计学最核心的思想方法。样本频率分布直方图不仅可以根据原始数据估计总体分布，而且在没有原始数据而仅有频率分布的情况下，也可以估计总体的分布特征[5]”。因此，用样本估计总体解决生产生活中的实际问题被高考广泛采纳，在近三年高考试题中，北京、陕西、辽宁等大多数省（区、市）都将样本频率分布直方图作为试题的重要部分。所以，在教学中要让学生掌握样本频率分布的列表和画直方图的方法，体会用样本估计总体的思想。

3.3 应重视概率与其他知识融合

从上述高考统计与概率命题来看，概率问题会与其他知识点综合起来考察。在2012年的课标卷中，对统计与概率主要考查分段函数，用频率估计概率，离散型随机变量的分布列、期望、方差，并要求对购进不同数量时所获利润的比较。该题将分段函数、概率与实际应用有机地融合构成综合题。此类题型在湖北、江西、江苏等地的试题中也有。由于课标卷对课标教科书的实施具有引领作用，所以在今后的教学中应当重视。

3.4 教学应注意联系生产和生活实际

从近三年高考统计与概率解答题来看，统计与概率试题一般以联系生产、生活实践来设计（见表1）。统计与概率教学的主要目的是使学生体会统计与概率的基本思想，并且将这种思想与生活实际相联系，能够收集数据、处理数据，并根据数据提取有价值的信息，作出合理的决策，从而培养学生“用数据说话”的理性思维和解决问题的方法。所以，统计与概率教学应当重视问题的背景及其在生产、生活实践中的应用。

表1 2010～2012年各省解答题背景

3.5 教学中应注意分类思想的教学

分类思想在数学中的运用随处可见，在统计与概率中的运用也很广泛。分类思想在选择题中的体现不明显，但是在后面解答题中的体现尤为突出。例如，在构造分布列时，首先必须对各种情况进行分类，才能进行计算。同时分类的思想有助于培养学生严谨的逻辑思维能力，而要培养这种能力，就需要大量相适的素材，而统计与概率正好提供给学生运用分类思想的材料，因此，教师应该好好把握在统计与概率中培养学生运用分类思想解决问题的能力。

4 结束语

本文只是在分析2010～2012年高考理科统计与概率试题的基础上得到的一些认识。要真正准确把握《课标》对统计与概率的教学要求，还需要对文科统计与概率试题进行深入的分析，并在此基础上，认真研读教材和课程标准，从教材的编排中领会教材编写意图，并结合学生实际情况制定教学策略。

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[Z].北京：人民教育出版社，2003.2-35.

[2]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书必修3[M].北京：人民教育出版社，2004.53-140.

[3]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书选修2-3[M].北京：人民教育出版社，2004.43-91.

[4]马度善.高中数学“概率”教材分析[J].中学数学参考,2011，（5）：25.

[5]胡成龙.2010年高考理科试题对高中统计与概率教学的启示[J].遵义师范学院学报,2010，12（5）：111-115.

[6]蒋际明.高考概率统计题型的演化趋势[J].中学数学教学,2011，（2）：30-32.

[7]吴鸿志.近三年高考概率统计试题的分析与思考[J].中学数学,2012，（11）：30-31.

[8]丁金华.研究高考试题解决概率问题[J].数学大世界,2012，（6）：53.

[9]胡水林，张金.2012年高考“概率与统计、计数原理”专题分析[J].中国数学教育,2012，（7-8）:83-89.