灵敏度分析及实际应用

豆俊梅 谷存昌

[摘要]灵敏度分析主要解决的线性规划问题为：系数在什么范围之内变化时，不会影响原先已经获得的最优基（也即最优解或最优解结构不变）。以及如果系数的变化超出以上范围，如何再次利用最简便的方法在原来最优解的基础上求出新的最优解。还有当线性规划问题增加一个新的变量或新的约束条件的时候，如何在原来最优解的基础上求出新的最优解。本文将先介绍灵敏度分析各种分类，然后针对日常生活中的实例加以分析以研究灵敏度分析的实际应用。

[关键字]灵敏度分析 最优解 实际应用

当线性规划问题中的单个或多个系数发生变化后，原最优解一般会发生变化。如果不嫌麻烦的话，可利用单纯形法重新计算进而求出新的最优解。如此一来便会加大工作量，从而得不偿失。在单纯形法迭代时，每次运算都是同基变量的系数矩阵有关系，故可将产生变化的个别系数进行一定计算后直接填入最终的计算表，继而进行检查、分析。对于各类参数变化引起的最优解变化，情况可分为：资源数量变化、目标函数中价值系数 的变化、技术系数 的变化、增加新的约束条件等。本文主要研究的是目标函数中价值系数 变化的实际应用。

例 一金属加工厂可冶炼甲、乙、丙三种金属，由于市场原因其中甲型金属将赔本1元、乙型也赔本一元，但丙型金属可盈利4元，冶炼1单位甲型金属会产生1单位原料C，冶炼1单位丙型金属会产生1单位材料B，已知生产三种金属对原材料的消耗如下表：表2.2-1

如果甲型金属由于市场原因利润变化σ，试确定σ在哪个范围变化时，最大利润不变？

解：根据题中相关条件可将原问题转换为如下线性规划问题：

对上述线性规划问题加入松弛变量x4、x5、x6，从而化为如下标准型：

利用单纯形法可求出上述线性规划问题的最终单纯形表：表2.2-2

当c`1=c1+σ时，对应的最终单纯形表为：表2.2-3

如需保持最优基不变，需要满足cj-zj≤0（j=1，2，3，4，5），即：

由此可得： -3≤σ≤3时，最大利润保持不变。

结论

本文从灵敏度分析的研究背景出发，首先详细阐述了灵敏度分析的重要意义及灵敏度分析的分类，然后对灵敏度分析问题做出了详细的理论分析，并辅以实例来分析和介绍灵敏度分析在现实生活中的实际应用。

基金项目：河南工业大学校级科研基金项目10XZR010.

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（作者单位：河南工业大学 理学院 河南郑州）