关于Diophantine方程x3-53=py2的整数解的研究

廖军

(文山学院 数学学院，云南 文山 663000)

关于Diophantine方程x3-53=py2的整数解的研究

廖军

(文山学院 数学学院，云南 文山 663000)

设p为奇素数，运用同余式、乐让德符号的性质等初等方法得出了Diophantine方程x3-53=py2无x≢0(mod5)的正整数解的两个充分条件.

Diophantine方程；奇素数；同余；正整数解；乐让德符号①

0 引言

方程x3-a3=Dy2(x,y∈N,D>0，且无平方因子)

(1)

是一类重要的Diophantine方程，其整数解已有不少人研究过.杜先存等[1-7]，万飞、杜先存[8，9]对a=1的情况进行了系列研究，得到了一系列结果；但a=5时研究的结果还不多见，目前只有很少人进行过研究，其结论主要为：1996年，李复中[10]用简单同余法给出了Diophantine方程x3-125=Dy2的全部非平凡正整数解，其中D>0，且不能被3或6k+1形的素数整数；1998年，李复中[11]用简单同余法给出了一类Diophantine方程x3-(5k)3=Dy2的全部非平凡整数解，其中D>0，无平方因子且不能被3或6k+1型的素数整数；2006年，刘晓敏用二次剩余法给出了Diophantine方程x3-125=Dy2，其中D>0，D含6k+1形素因子，方程x3-125=Dy2无正整数的充分性条件.本文主要给出了Diophantine方程x3-53py2无x≢0(mod5)的正整数解的充分性条件.

1 相关定理

定理1 设p为奇素数，且p=3(24r+3)(24r+4)+1，其中r≡1,3,4(mod5)，则Diophantine方程

x3-53=py2

(2)

无x≢0(mod5)正整数解.

定理2 设p为奇素数，且p=3(24r+19)(24r+20)+1，其中r≡2,4(mod5)，则Diophantine方程

x3-53=py2(3)

无x≢0(mod5)正整数解.

2 定理证明

2.1 证明1

设(x,y)是方程(2)的一组正整数解，则(2)可分解为(x-5)(x2+5x+25)=py2，因为x≢0(mod5)，故gcd(x-5,x2+5x+25)=1或3，根据奇偶性质，可知x2+5x+25必为奇数，即x2+5x+25≢0(mod2)，则Diophantine方程(2)可以分解为以下4种情形:

情形Ⅰ:x-5=pa2，x2+5x+25=b2，y=ab，gcd(a,b)=1

情形Ⅱ:x-5=a2，x2+5x+25=pb2，y=ab，gcd(a,b)=1

情形Ⅲ:x-5=3pa2，x2+5x+25=3b2，y=3ab，gcd(a,b)=1

情形Ⅳ:x-5=3a2，x2+5x+25=3pb2，y=3ab，gcd(a,b)=1

以下分别讨论这四种情形下方程(2)的解的情况.

情形Ⅰ，由第二式得(2x+5)2+75=4b2，即(2b)2-(2x+5)2=75，解得

x=-21,-8,0,3,6，则pu2=-11,2,5,10,13,26，无解，故情形Ⅰ不成立.

情形Ⅱ，a2≡0,1,4(mod8)，则x=a2+5≡1,5,6(mod8)，则x2+5x+25≡3,7(mod8)，根据x2+5x+25必为奇数，则b2必为奇数，则有b2≡1(mod8)，由p=3(24r+3)(24r+4)+1=3(576r2+168r+12)+1=1728r2+504r+37≡5(mod8)，则pb2≡5(mod8)，又x2+5x+25≡3,7(mod8)，所以3,7≡x2+5x+25≡5(mod8)，矛盾，故情形Ⅱ也不成立.

综上所述:Diophantine方程(2)在题设条件下无x≢0(mod5)的正整数解.

2.2证明2

设(x,y)是方程(2)的一组正整数解，则(2)可分解为(x-5)(x2+5x+25)=py2，因为x≢0(mod5)，故gcd(x-5,x2+5x+25)=1或3，根据奇偶性质，可知x2+5x+25必为奇数，即x2+5x+25≢0(mod2)，则Diophantine方程(2)可以分解为以下4种情形:

情形Ⅰ:x-5=pa2，x2+5x+25=b2，y=ab，gcd(a,b)=1

情形Ⅱ:x-5=a2，x2+5x+25=pb2，y=ab，gcd(a,b)=1

情形Ⅲ:x-5=3pa2，x2+5x+25=3b2，y=3ab，gcd(a,b)=1

情形Ⅳ:x-5=3a2，x2+5x+25=3pb2，y=3ab，gcd(a,b)=1

以下分别讨论这四种情形下方程(2)的解的情况.

情形Ⅰ，由第二式得(2x+5)2+75=4b2，即(2b)2-(2x+5)2=75，解得x=-21,-8,0,3,6，则pu2=-11,2,5,10,13,26，无解，故情形Ⅰ不成立.

情形Ⅱ，a2≡0,1,4(mod8)，则x=a2+5≡1,5,6(mod8)，则x2+5x+25≡3,7(mod8)，根据x2+5x+25必为奇数，则b2必为奇数，则有b2≡1(mod8)，由p=3(24r+19)(24r+20)+1=3(576r2+936r+380)+1=1728r2+2808r+1141≡5(mod8)，则pb2≡5(mod8)，又x2+5x+25≡3,7(mod8)，所以3,7≡x2+5x+25≡5(mod8)，矛盾，故情形Ⅱ也不成立.

+4(k∈Z)，现分类讨论有:

故情形Ⅳ不成立.

3 结论

结果表明Diophantine方程(2)在题设条件下无x≢0(mod5)的正整数解.

[1]杜先存,管训贵,杨慧章.关于不定方程x3+1=91y2[J].内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版),2013,42(4):397-399.

[2]杜先存,万飞,杨慧章.关于丢番图方程x3±1=1267y2的整数解[J].数学的实践与认识,2013,43(15):288-292.

[3]杜先存,吴丛博,赵金娥.关于Diophantine方程x3±1=3Dy2[J].沈阳大学学报(自然科学版),2013,25(1):84-86.

[4]杜先存,赵东晋,赵金娥.关于不定方程x3±1=2py2[J].曲阜师范大学学报(自然科学版),2013,39(1):42-43.

[5]杜先存,史家银,赵金娥.关于不定方程x3-1=py2[J].西南民族大学学报(自然科学版), 2012,38(5):748-751.

[6]杜先存,李玉龙,赵金娥.关于不定方程x3-1=Dy2[J].四川理工学院学报(自然科学版),2012,25(4):79-80.

[7]杜先存.关于不定方程x3+1=Dy2[J].周口师范学院学报,2013,30(2):15-16.

[8]万飞,杜先存.关于指数Diophantine方程x3+1=Dy2[J].西南民族大学学报(自然科学版),2012,38(6):884-885.

[9]万飞,杜先存.关于指数丢番图方程x3+1=py2与x3+1=3py2[J].曲阜师范大学学报,2013,39(3):49-50.

[10]李复中.关于丢番图方程x3125=Dy2[J].东北师范大学学报(自然科学版),1996, (3):15-16.

[11]李复中.关于丢番图方程x3(5k)3=Dy2[J].东北师范大学学报(自然科学版),1998, (2):16-19.

O156.1

A

1004-7077(2013)05-0060-03

2013-09-05

云南省教育厅科学研究项目(项目编号：2012Y270)；文山学院重点学科项目(项目编号：12WSXK01).

廖军(1977-)，男，云南西畴人，文山学院数学学院讲师，理学硕士，主要从事初等数学及数理统计研究.

闫昕]