一类带有变号权函数的椭圆方程组解的存在性

潘晓丽,　母丽华,　陈　辉

(黑龙江科技大学 理学院, 哈尔滨 150022)



一类带有变号权函数的椭圆方程组解的存在性

潘晓丽,母丽华,陈辉

(黑龙江科技大学 理学院, 哈尔滨 150022)

为合理而精确地解释一类非线性椭圆方程问题的具体物理过程,在有界区域上讨论了具有零Dirichlet边界条件的拟线性椭圆方程组解的存在性问题。当方程组的权函数满足一定条件时,应用上下解的方法证明该方程组存在弱解，并得出了这一类边值问题解的存在性的判断方法,具有广泛的实际应用前景。

拟线性椭圆系统; 上下解; 变号权函数; 特征值

0　引　言

近年来,具有p-Laplacian 算子的边值问题是泛函微分方程研究的热点问题之一,该类方程在非牛顿流体力学中具有广泛应用,如当p∈(1,2)时方程对应的是假塑性流体问题,当p>2时方程对应的为胀性流体问题,当p=2时方程对应的为牛顿流体问题[1]。该类方程还广泛应用于弹性力学理论、非线性光学、血浆问题、宇宙物理、生物学和天文学等研究领域,其中大量模型均可归结为该类方程组正解的存在性,正是因为这类方程的结构具有深刻的物理背景,且数学模型与自然现象极其吻合,所以研究具有p-Laplacian 算子的边值问题正解的存在性具有重要的应用价值。

近年来, 方程上下解的方法广泛地用于讨论非线性椭圆方程解的存在性问题,关于p-Laplacian方程边值问题正解的存在性已取得大量的科研成果[2-10]。其中, 文献[2]研究了一类含有p-Laplacian 算子的拟线性椭圆方程组:

并利用讨论上下解的方法给出了至少存在一个非平凡弱解的充分条件,其中λ>0, 1

(1)

1　预备知识

为了获得问题(1)的正解的存在性,需要构造正的弱下解(ψ1,ψ2)和正的弱上解(z1,z2)。

考虑如下特征值问题:

(2)

(3)

(4)

2　主要结论

定理1假设存在t>0,满足

则当λ∈(λ*,λ*)时,问题(1)存在一个正解,其中

证明由假设λ*<λ*,令

类似地

类似地

类似地

即

因此,(ψ1,ψ2)为问题(1)的一个弱下解。

下面,构造问题(1)的一个弱上解(z1,z2)。

考虑边值问题

e1(x),e2(x)分别为上述边值问题的正解。

令

z1(x)=Ae1(x),z2(x)=Be2(x)。

其中A、B为在充分大的正数,则

因为θ=(p-1-α)(q-1-β)-γδ>0,则存在足够大正常数A、B,使得

即

所以,存在足够大正常数A、B满足ψi≤zi(i=1,2),使得(z1,z2)为问题(1)的一个弱下解。因此,存在问题(1)的一个弱解(u,v)满足(ψ1,ψ2)≤(u,v)≤(z1,z2),定理得证。

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(编辑王冬)

Existence of weak solution for class of elliptic systems with sign-changing weight

PANXiaoli,MULihua,CHENHui

(College of Sciences, Heilongjiang University of Science & Technology, Harbin 150022, China)

Aimed at giving a reasonable and precise explanation for a specific physical process for a class of nonlinear elliptic equations, this paper discusses the existence of positive weak solution for the quasilinear elliptic system with zero Dirichlet boundary condition in bounded domain. The paper proves the existence of positive weak solution via sub-super-solutions when the weight functions satisfy certain additional conditions and gives the judging method for the existence of solution of this kind of boundary value problems. The study promises a stronger practical application.

quasilinear elliptic systems; sub-super-solutions; sign-changing weight function; eigenvalue

2013-07-24

黑龙江省教育厅科学技术研究项目(12531576)

潘晓丽(1982-),女,达斡尔族,内蒙古自治区莫旗人,讲师,硕士,研究方向:偏微分方程,E-mail:panxiaoli006@163.com。

10.3969/j.issn.1671-0118.2013.05.023

O175.25

1671-0118(2013)05-0502-03

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