具时滞正交切削颤振模型的稳定性与Hopf分支分析

杨纪华

具时滞正交切削颤振模型的稳定性与Hopf分支分析

杨纪华

(宁夏师范学院数学与计算机科学学院，宁夏，固原 756000)

研究了具时滞正交切削系统模型。从对系统线性化方程的特征方程根的分布分析入手，讨论了系统平衡点的稳定性，确定了系统的线性稳定性区域，发现当系统中的时滞经过一系列临界值时，系统经历了Hopf分支，并发现当时滞较大时，系统出现了混沌吸引子。最后，数值模拟验证了理论结构的正确性。

时滞；稳定性；Hopf分支；混沌

1 模型与引理

在金属切削过程中，工件与刀具之间常常发生强烈的颤振，颤振不仅对加工表面光洁度、加工精度产生不利影响，而且还会损坏机床的主轴和刀具，使生产率下降。在实践中，要达到较高的材料去除率和加工质量，切削加工过程必须在稳定的状态下进行。因此，长期以来许多学者都致力于机械加工颤振理论的研究，以求揭示其机理，掌握其规律，从而加以控制和利用[1-2]。

早在上世纪六十年代，Koenigsberger和Tlusty就用正交切削模型对切削的稳定性进行分析[3]。近年来此方面的研究更多，Wan Min等人在文献[4]中提出了预测多时滞切削过程稳定性的的一个统一的方法。在文献[5]中，作者研究了正交切削模型颤振的全局动力学行为。在文献[6]中，作者对圆柱形磨削加工模型进行了稳定性和分支分析，并探讨了其非线性颤振行为。本文研究的正交颤振稳定性模型为[7]

它的两个根为

引理 2

平方相加可得

进而可得

因此，

令

令

引理3

从而

其中

其中

由本文引理1-4和文献[9]中第十一章的定理1，可以得到下面关于系统(2)的平衡点的稳定性与Hopf分支的存在性定理。

定理1

2 数值模拟

进而可得

图1 当时，系统(2)波图和相图

图2 当时，系统(2)波图和相图

图3 当时，系统(2)波图和相图

图4 当时，系统(2)波图和相图

图5 当时，系统(2)波图和相图

图6 当时，系统(2)波图和相图

图7 当时，系统(2)波图和相图

3 结论

本文研究了具时滞正交切削系统颤振的数学模型，通过特征值方法对该系统的稳定性进行了分析，得出了判断此类系统的平衡点稳定性的充分条件，给出了系统的线性稳定性区域和Hopf 分支的存在条件，并发现当时滞较大时，系统出现可混沌现象。最后通过数值模拟验证理论的正确性。利用得到的基本定理，能很好地判断此类机床颤振系统平衡点的渐近稳定性和周期轨的存在性，而且能够为机床颤振系统的稳定性分析提供更为精确的计算方法，为机床的改进设计提供理论依据。因此本文研究结果具有一定的现实意义。

[1] Xie Q, Zhang Q, Han J. Hopf bifurcation for delay differential equation with application to machine tool chatter[J]. Applied Mathematical Modelling, 2012,36:3803-3812.

[2] 赵敏德. 非线性颤振系统的分岔与混沌[D]. 天津：天津大学，2009.

[3] Koenigsberger F, Tlusty J. Machine Tool Structure—vol. I:Stability Against Chatter[M]. Pergamon:Pergamon Press,1967.

[4] Wan Min, Zhang Weihong, Dang Jianwei. A unified stability prediction method for milling process with multiple delays[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture, 2010,50:29-41.

[5] Zoltan D, David A W, Eddie W. On the global dynamics of chatter in the orthogonal cutting model[J]. International Journal of Non-linear Mechanics, 2011,46:330-338.

[6] Pilkee kim, Jeeyun Jung, Sooyoung Lee. Stability and bifurcation analyses of chatter vibrations in a nonlinear cylindrical traverse grinding process[J]. Journal of Sound and Vibration, 2013,332: 3879-3896.

[7] Merritt H E. Theory of self-excited machine Tool chatter[J]. Trans. ASME Journal of Engineering for Industry, 1965,87:447-454.

[8] Ruan S, Wei J. On the Zeros of transcendental function with Applications to stability of delay differential equation with two delays[J]. Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive System,2003,10:863-874.

[9] Hale J K, Lunel S V. Introduction to functional differential equation[M]. New York:Springer- Verlag,1993.

Stability and Hopf bifurcation analysis of orthogonal cutting model with time delay

YANG Ji-hua

(Department of Mathematics and Computer Science Ningxia Teachers University, Guyuan, Ningxia 756000, China)

The mathematical model of orthogonal cutting model with time delay is studied. The stability of the equilibrium is discussed by analyzing the characteristic equation of the linearized system of original system at the equilibrium. The regions of linear stability of equilibrium are given. It is found that Hopf bifurcation exist when the delay passes through a sequence of critical values and the chaos occurs when delay increase further. Finally, some numerical simulations are carried out for supporting the analytic results.

time delay; stability; Hopf bifurcation; chaos

O175.14

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2013.06.002

1674-8085(2013)06-0006-06

2013-09-04；

2013-10-16

宁夏自然科学基金项目(NZ132013);宁夏师范学院创新团队项目(zy201207);宁夏师范学院本科教学工程项目(JXGC2012B01)

杨纪华(1983-)，男，河南周口人，讲师，硕士，主要从事微分方程的稳定性与分支理论研究(E-mail: jihua1113@163.com).