一个新的复合极值分布

刘维钊 (武汉大学经济与管理学院，湖北 武汉 430072)

一个新的复合极值分布

刘维钊 (武汉大学经济与管理学院，湖北 武汉 430072)

提出了一个新的具有单调降危险率的厚尾分布，该分布通过“混合”Pareto分布和Poisson分布而成，是一种复合极值分布。导出了新分布的概率统计特性，研究了各种可应用于风险分析和可靠性工程的特征量(包括矩、熵、危险率函数、平均剩余寿命等)，获得了未知参数极大似然估计的存在唯一性。数值模拟表明该极大似然估计具有良好的有限样本性质。

Pareto分布；Poisson分布；极值分布；极大似然估计

极值分布在水文、气象、地震、风险管理以及可靠性等领域的应用越来越广泛和深入。在考虑诸如洪水、波高、地震的年最大值分布中，每年这些特殊事件的发生次数不是一个常数，而是一个随机变量，文献[1]提出了复合极值分布的模型。设Y1,…,Yn,…是来自分布为G(x)的总体Y的一个简单随机样本，N为与Y独立的随机变量，其分布列为pn=P(N=n),n=1,2,…。 令:

M=max{Y1,…,YN}X=min{Y1,…,YN}

刘晶[2]在N服从Poisson分布和Yn服从Gumbel分布的假定下，讨论了FM(x)中未知参数的估计问题；叶孜文[3]研究了当N服从Poisson分布且Yn服从广义Pareto分布时FM(x)统计推断和实证分析；张香云、程维虎[4]在N服从二项分布且Yn服从广义Pareto分布的条件下，研究了FM(x)的估计和检验问题。Kus[5]在N服从Poisson分布和Yn服从指数分布的条件下获得了FX(x)的一系列概率性质和统计规律；Hemmati, Khorram和 Rezakhah[6]在N服从Poisson分布和Yn服从Weibull分布的条件下研究了FX(x)的概率性质和统计推断。在实际应用中，上述特殊事件的发生大多是不常见的稀有事件，故文献往往假定N服从Poisson分布或截断型Poisson分布。

Pareto分布由于其厚尾和单调降危险率的特征，广泛应用于社会科学、经济、精算、工程等领域。Pareto分布的各种变形和推广日益引起重视[3-4，7]。受文献[5-6]的启发，笔者主要研究了当N服从在零点截断的Poisson分布且Yn服从Pareto分布时复合极值分布FX(x)的概率性质和统计规律，称这个新的分布为Pareto-Poisson分布，它可视为Pareto分布的一种扰动和推广，能比Pareto分布适应更大范围、更复杂情形的统计建模的需要。

1 Pareto-Poisson分布的定义

P(X≤x|N=n) =P(min{Y1,…,YN}≤x|N=n)

(1)

X的分布函数为：

F(x，α,λ)=(eλ-1)-1(eλ-eλx-α)x≥1

(2)

称式(1)或式(2)确定的分布参数是(α，λ)的Pareto-Poisson分布。

图1 Pareto-Poisson 分布密度函数(λ=0.5; α=0.5,1,2,5) 图2 Pareto-Poisson 分布密度函数(α=1; λ=0,1,3,8)

2 Pareto-Poisson分布的性质

假设X服从以(α,λ)为参数的Pareto-Poisson分布，整数k≥1。由式(1)可知，k阶矩E(Xk，α,λ)存在的充分必要条件是α>k。当α>k时:

(3)

令λ→0即知Pareto-Poisson分布的矩收敛于Pareto分布的矩。

定理1设X服从以(α,λ)为参数的Pareto-Poisson分布, 其分布密度为f(x，α,λ)。则X具有有限申农熵：

(4)

证明由式(1)可知:

(5)

定理2对任何α>0，λ>0，h(x，α,λ)是x的严格单调降函数，且远期危险率为:

定理3设X服从Pareto-Poisson分布，参数α>1,λ>0。则X的平均剩余寿命为：

(6)

(7)

证明由定义，有：

由此即得式(6)。从式(6)可知：

任给0up)=p，则易见:

(8)

3 Pareto-Poisson分布的极大似然估计

设X1,…,Xn是来自以(α,λ)为参数的Pareto-Poissson分布的简单随机样本，由式(1)知对数似然函数和似然方程分别为：

(9)

(10)

故式(10)中的第2个方程无解，λ的极大似然估计不存在。下面笔者在假定λ给定或已知的条件下求α的极大似然估计。

当α>1给定或已知时，可利用式(3)和矩法得到λ的矩估计的数值解。

表1 α的极大似然估计的均值、标准误和迭代次数(α0为初值)

[1]马逢时,刘德辅. 复合极值分布理论及其应用[J]. 应用数学学报, 1979, 2(4)：366-375.

[2] 刘晶,吴新荣,李素红. Poisson-Gumbel复合极值分布的参数估计[J]. 统计与决策, 2007(9): 17-19.

[3] 叶孜文. 基于Poisson-GP复合极值分布的股指期货保证金设置研究[J]. 曲阜师范大学学报, 2011, 37(4): 49-52.

[4] 张香云,程维虎. 二项-广义Pareto复合极值分布模型的统计推断[J]. 应用数学学报, 2012, 35(3): 560-572.

[5] Kus C. A new lifetime distribution[J]. Computational Statistics and Data Analysis, 2007, 51: 4497-4509.

[6] Hemmati F, Khorram E，Rezakhah S. A new three-parameter ageing distribution[J]. Journal of Statistical Planning and Inference, 2011, 141: 2266-2275 .

[7] 刘媚. 混合双参数Pareto分布的假设检验[J]. 统计与决策, 2011(2): 34-35.

[8] 茆诗松,王静龙,濮晓龙. 高等数理统计[M]. 北京：高等教育出版社， 1998.

2012-11-16

国家自然科学基金项目(10771163)。

刘维钊(1991-)，男，现主要从事数理金融方面的学习。

O212

A

1673-1409(2013)04-0010-04

[编辑] 洪云飞