例析高等数学背景下的高考数学试题*

龙宪军，彭再云，龚高华

(1.重庆工商大学 数学与统计学院，重庆 400067；2.重庆交通大学 理学院，重庆 400074；3.重庆市綦江区 东溪中学，重庆 401434)

例析高等数学背景下的高考数学试题*

龙宪军1，彭再云2，龚高华3

(1.重庆工商大学 数学与统计学院，重庆 400067；2.重庆交通大学 理学院，重庆 400074；
3.重庆市綦江区 东溪中学，重庆 401434)

高等数学是大学理工科及部分文科专业开设的一门非常重要的基础课程,它对培养学生的理性思维、创新意识、解决实际问题的能力等基本素质起着重要的作用；以近几年出现的高考试题为例，探讨高等数学中的有关知识在解题中的应用.

高等数学；高考试题；背景

高等数学是大学理工科及部分文科专业开设的一门非常重要的基础课程, 它不仅是学生学习后续课程的重要基础, 而且对培养学生的理性思维、创新意识、解决实际问题的能力等基本素质起着重要的作用.而初等数学与高等数学有着紧密的联系.近年来，高考数学试卷中多次出现了以高等数学为背景的试题.这对高中数学教学提出了新要求.此处就近几年高考试题中出现的高等数学为背景的几个问题加以分析，以便提高学生利用高等数学背景知识去解决初等数学的能力.

1 以零点定理为背景的试题

零点定理[1]设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)·f(b)<0)，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0.

2 以导数为背景的试题

2.1 利用导数判断函数的极值

(1) 若x∈(x0-δ,x0)时，f′(x)>0，而x∈(x0,x0+δ)时，f′(x)<0，则f(x)在x0处取得极大值.

(2) 若x∈(x0-δ,x0)时，f′(x)<0，而x∈(x0,x0+δ)时，f′(x)>0，则f(x)在x0处取得极小值.

例2 (2012年高考(陕西理))设函数f(x)=xex，则( )

2.2 利用导数求曲线的切线

评注此题考查的是导数的几何意义，即函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.

3 以定积分为背景的试题

评注此题考查有关多项式函数、三角函数定积分的计算.直接利用牛顿-莱布尼兹公式求解.

例5 (2012年高考(湖北理))已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为( )

解根据图像可得：y=f(x)-x2+1,再由定积分的几何意义,可求得面积为

A.S1

4 结束语

由上述例题可以看出，以高等数学为背景的知识逐渐出现在高考试题中，这为中学数学教学增添了新的活力.同时，这也对中学教师提出了更高的要求，要不断的加强高等数学知识的学习，提高自身专业素养.

[1] 同济大学数学系. 高等数学上下册[M].6版.北京：高等教育出版社，2007

Analysis of Mathematical Questions for College Entrance Examination under the Background of Higher Mathematics

LONGXian-jun1,PENGZai-yun2,GONGGao-hua3

(1.School of Mathematics and Statistics, Chongqing Technology and Business University, Chongqing 400067, China；2. School of Science, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400074, China；3. Dongxi Middle School, Qijiang District of Chongqing, Chongqing 401434, China)

Higher mathematics is a very important basic course for the students majored in science and engineering and for some students majored in arts in colleges and universities, and plays an important role in cultivating the basic qualities of the students such as rational thinking, innovative consciousness, the ability to solve practical problems and so on.This paper discusses the application of some related knowledge in higher mathematics to answering the questions of college entrance examinations by taking the examples of the testing questions in college entrance examinations in recent years.

higher mathematics；college entrance examination question；background

1672-058X(2013)12-0031-03

2013-06-20；

2013-07-09.

国家自然科学基金(11001287)；重庆市教委教育改革项目(103146).

龙宪军(1980-), 男, 重庆永川人, 副教授, 博士, 从事优化理论及应用、数学教育的研究.

G42

A

责任编辑：李翠薇