关于不定方程x3±27=Dy2

钱立凯， 杜先存

(1.红河学院 教师教育学院，云南 蒙自 661199；2.曲靖师范学院 教师教育学院，云南 曲靖 655011)

关于不定方程x3±27=Dy2

钱立凯1， 杜先存2

(1.红河学院 教师教育学院，云南 蒙自 661199；2.曲靖师范学院 教师教育学院，云南 曲靖 655011)

利用初等方法得出了：D=27t2+1(t≡0(mod2))为奇素数时，不定方程x3+27=Dy2无正整数解；D=27t2+1(t≡4(mod8))为奇素数时，不定方程x3-27=Dy2无正整数解.

不定方程；奇素数；正整数解；同余式

方程：

x3±27=Dy2(x,y∈N,D>0，且无平方因子)

(1)

是一类重要的不定方程，其整数解已有不少人研究过.D无6k+1型素数的奇次幂因子时，1988年，曹玉书[1]给出了不定方程(1)的全部整数解；当D无平方因子且不能被6k+1型素数整除时，1996年，倪谷炎[2]在《关于丢番图方程x3±p3n=Dy2》中给出了p=3时不定方程x3±p3n=Dy2的全部非平凡整数解；高丽、强春丽[3]给出了方程x3±27=28y2的全部整数解；李双娥、林丽娟[4]给出了方程x3+27=7y2的全部整数解；田志勇、罗明[5]给出了方程x3+27=91y2的全部整数解；李双娥[5]给出了方程x3+27=26y2的全部整数解.以处用初等方法给出方程(1)无解的充分条件.

引理1[6]设D=27t2+1 (t∈N+)为奇素数时，则Diophatine方程x3+1=3Dy2(x,y∈Z+)无正整数解.

引理2[6]设D=27t2+1(t∈Z+)为奇素数时，则Diophatine方程x3-1=3Dy2(x,y∈Z+)无正整数解.

定理1 若D=27t2+1(t≡0(mod2))为奇素数，则不定方程

x3+27=Dy2

(2)

无正整数解.

证明(1)x≡0(mod3)时.

因为x≡0(mod3)，所以x3+27≡0(mod27)，故Dy2≡0(mod27)，又因为D=27t2+1是奇素数，故y2≡0(mod27)，即y≡0(mod9)，故设x=3x1，y=9y1，则式(2)可化为x13-1=3Dy12，又因为D=27t2+1为奇素数，由引理1得不定方程x13-1=3Dy12无正整数解，故方程(2)无正整数解.

(2)x≡0(mod3)时.

因为式(2)可化为(x-3)(x2+3x+9)=Dy2，又(x-3,x2+3x+9)=1，D为奇素数， 所以式(2)可以分解为以下两种可能的情形：

情形Ⅰ：x+3=Du2，x2-3x+9=v2，y=uv，gcd(u,v)=1.

情形Ⅱ：x+3=u2，x2-3x+9=Dv2，y=uv，gcd(u,v)=1.

对于情形Ⅰ，由式(2)得x=-5，x=0，x=3，x=8，代入式(1)均不成立，故情形Ⅰ无方程(2)的正整数解.

对于情形Ⅱ，由式(1)得x=u2-3，因u2≡0,1,4(mod8)，故x≡1,5,6(mod8)，所以x2-3x+9≡3,7(mod8).又因为x2-3x+9为奇数，D为奇素数，所以v2为奇数，则v2≡1(mod8)，又D=27t2+1，t≡0(mod2)，所以27t2≡0,4(mod8)，故Dv2≡1,5(mod8).所以有3,7≡x2+3x+9=Dv2≡1,5(mod8)，矛盾.故情形Ⅱ无方程(2)的正整数解.

综上可得，当D=27t2+1(t≡0(mod2))为奇素数时，不定方程(2)无正整数解.

定理2 若D=27t2+1(t≡4(mod8))为奇素数，则不定方程

x3-27=Dy2

(3)

无正整数解.

证明(1)x≡0(mod3)时.

因为x≡0(mod3)，所以x3-27≡0(mod27)，故Dy2≡0(mod27)，又因为D=27·t2+1是奇素数，故y2≡0(mod27)，即y≡0(mod9)，故设x=3x1，y=9y1，则式(3)可化为x13-1=3Dy12，又因为D=27t2+1为奇素数，由引理2得不定方程x13-1=3Dy12无正整数解，故方程(3)无正整数解.

(2)x≡0(mod3)时.

因为式(3)可化为(x-3)(x2+3x+9)=Dy2，又(x-3,x2+3x+9)=1，D为奇素数， 所以式(3)可以分解为以下两种可能的情形：

情形Ⅰ：x-3=Du2，x2+3x+9=v2，y=uv，gcd(u,v)=1.

情形Ⅱ：x-3=u2，x2+3x+9=Dv2，y=uv，gcd(u,v)=1.

对于情形Ⅰ，由式(2)得x=-8，x=5，x=-3，x=0，代入式(1)均不成立.故情形Ⅰ无方程(3)的正整数解.

对于情形Ⅱ，由式(1)得x=u2+3，因u2≡0,1,4(mod8)，故x≡3,4,7(mod8)，所以x2+3x+9≡3,5,7(mod8).又因为x2+3x+9为奇数，D为奇素数，所以v2为奇数，则v2≡1(mod8)，又D=27t2+1，t≡4(mod8)，所以27t2≡0(mod8)，故D≡1(mod8)，所以Dv2≡1(mod8).所以有3,5,7≡x2+3x+9=Dv2≡1(mod8),矛盾.故情形Ⅱ无方程(3)的正整数解.

综上可得，当D=27t2+1(t≡4(mod8))为奇素数时，不定方程(3)无正整数解.

[1] 曹玉书.关于丢番图方程x3±1=Dy2[J].黑龙江大学自然科学学报,1988(2)：4-8

[2] 倪谷炎.关于丢番图方程x3±p3n=Dy2[J].四川大学学报：自然科学版,1996(6)：658-664

[3] 高丽，强春丽.关于不定方程x3±27=28y2[J].云南师范大学学报,2013,33(1)：1-3

[4] 李双娥，林丽娟.关于不定方程x3+27=7y2[J].重庆工商大学学报：自然科学版,2007,24(4)：325-327

[5] 田志勇，罗明.关于不定方程x3+27=91y2[J].重庆工商大学学报：自然科学版,2012,29(1)：11-13

[6] 杜先存,吴丛博,赵金娥.关于Diophantine方程x3±1=3Dy2[J].沈阳大学学报：自然科学版,2013,25(1)：84-86

On Diophantine Equation x3±27=Dy2

QIANLi-kai1，DUXian-cun2

(1. Teachers’Educational College，Honghe University，Yunnan Mengzi 661199，China；2. School of Teacher Education, Qujing Normal University,Yunnan Qujing 655011, China)

LetDbe an odd prime， by using elementary method，we prove that Diophantine equationx3+27=Dy2has no positive integer solutions, whereD=27t2+1(t≡0(mod 2)). In addition, we also prove that Diophantine equationx3-27=Dy2has no positive integer solutions, whereD=27t2+1(t≡4(mod 8)).

Diophantine equation；odd prime；positive integer solution；congruence

1672-058X(2013)12-0022-02

2013-04-25；

2013-06-20.

钱立凯(1982-)，男，云南洱源人，硕士，讲师，从事数学教育及初等数论研究.

O156

A

责任编辑：李翠薇