一类随机PWM反馈时滞系统稳定性分析

赵其领， 张 忠， 韩化辉， 叶丽霞

(重庆大学 数学与统计学院，重庆 401331)

一类随机PWM反馈时滞系统稳定性分析

赵其领， 张 忠， 韩化辉， 叶丽霞

(重庆大学 数学与统计学院，重庆 401331)

研究了随机PWM反馈时滞系统的P次指数稳定性.从基本概念出发，通过伊藤引理和布朗运动的性质，利用Lyapunov-Krasovskii泛函方法，以线性矩阵不等式为主要工具，构造V函数，使用自由矩阵，得到稳定性结论.

PWM；时滞系统；P次指数稳定性；随机扰动；Lyapunov-Krasovskii泛函

在自然科学和社会科学中，系统总会受到内部和外部各种因素的干扰，系统或多或少存在着一些时间延迟的现象，称为时滞现象.有些系统的时滞线性不明显，可以忽略.但是有些系统受到时滞系统影响比较大，当前的系统状态需要历史状态，否则因忽略影响导致出现较大误差甚至问题无法解决.

脉冲宽度调制(PWM)广泛地应用于工程系统、状态控制系统、信号处理、神经网络模型等. 如今已有越来越多的学者对PWM反馈系统的稳定性深入研究，并建立了一系列的方法判别其稳定性.Halanay在文献[1]中运用积分算子的核方法及李雅普诺夫方法对于赫兹稳定的脉冲机制的PWM反馈系统建立了一些理论，在文献[2]对于非线性的PWM反馈系统也做出相应的研究.

对于一个实际的系统，总是存在各种随机干扰,在很多系统中，如人口模型、神经网络、生物系统等随机因素干扰越来越受到人们的重视. 因此，近年来随机时滞系统的研究受到国内外广大学者的重视.到目前为止，随机时滞系统的稳定性研究取得了一系列的成果.并且由于线性矩阵不等式求解的方便性，使得许多确定的时滞系统被推广到随机时滞系统中.通过Lyapunov -Krasovskii泛函，得到保守性较小的稳定性判据.虽然取得了一定成果，但是随机时滞系统的P次指数稳定性却很少研究. 因此，将引入自由矩阵，通过构造适合的Lyapunov-Krasovskii泛函，进一步研究随机PWM时滞系统的P次稳定性.

1 系统模型及预备知识

考虑的PWM反馈系统及系统输出被描述如下[3，4]：

dx(t)=Ax(t)dt+A1x(t-h)dt+Bu(t)dt+G(t,x(t),x(t-h))dWt

(1)

y(t)=C1x(t)+C2x(t-h)

(2)

其中,x∈Rn,系统的状态向量y∈R,u∈R是脉宽调制的输出,A,A1,B,C1,C2和G是适当维数的矩阵,h=(di)∈Rn,0

E(dWt)=0,E(dWt)2=dt

(3)

记G(t)≜G(t,x(t),x(t-h))且满足以下关系的非线性干扰：

Trace [GT(t)G(t)]≤‖G3(x(t))‖2+‖G4(x(t))‖2

(4)

其中,G3,G4为适合维数的实常阵.

定义1[5]对于任给的一个泛函V,其无穷小生成算子LV(x(t),t)可以表示成：

引理1[6]给定实数α,β及正定矩阵S,若α>β,则不等式：

对于任意的向量函数ω：[β,α]→Rn使得积分收敛都成立.

定义2[6]随机系统(1)为指数P次方稳定的,如果对任意的初始条件,存在α>0和β≥1,使得不等式(5)成立：

∀t≥0,p∈N+

(5)

特别地，当P=2时，随机系统为均方稳定的.

引理4(It引理) 设W(t)是一维纳过程，如果初等函数φ(t,ω)有界，则有

2 主要结果和重要结论

图1 具有随机扰动性的PWM反馈时滞系统

脉宽系统可以表示为

(6)

其中，e(t)=r(t)-y(t)，r(t)为外部输入，y(t)为系统输出，k=0,1,2,….

脉冲宽度Tk和符号函数分别为：

其中，最小正周期T，脉冲振幅为M，β均为常数 .

考虑如下的Lyapunov-Krasovskii泛函：

(7)

V1(x(t),t)=xT(t)Px(t)

(8)

(9)

(10)

(11)

为方便讨论，不妨设一个参数集：

命题1[8]如果参数集Φ满足下面的线性矩阵不等式：

(12)

则Lyapunov-Krasovskii泛函是正定的.

由引理1知,

如果线性矩阵不等式(12)成立,则Lyapunov-Krasovskii泛函为正定的.

定理1 对给定的标量h>0,随机时滞系统(1)是P方指数稳定的,如果存在标量ρ>0,ε>0,参数集Φ满足命题1,使得以下矩阵不等式成立：

(13)

P≤ρI

(14)

证明通过Lyapunov-Krasovskii泛函,根据It引理，随机过程{xt,t≥0}沿系统(1)求解轨线的无穷小微分算子LVi(x(t),t)(i=1,2,3,4).

可得：

LV1(x(t),t)≤2xT(t)P[Ax(t)+A1x(t-h)+Bu(t)]+‖G3(x(t))‖2+‖G4(x(t))‖2=

[2xT(t)PAx(t)+2xT(t)PA1x(t-h)+2xT(t)PBu(t)]+

ρ[xT(t)G3TG3x(t)+xT(t-h)G4TG4x(t-h)]

(19)

由式(5)可知，对任意的ε>0，总有不等式(20)成立：

ε[E1x(t)+E2x(t-h)]T[E1x(t)+E2x(t-h)]-εpT(t)p(t)≥0

(20)

综合上述，可以求出LV(x(t),t)的表达式：

(21)

从证明的结果可以看出，如果Φ<0，则有LV(x(t),t)<0.再由Schur补引理可知，存在一个标量μ>0，使得不等式(22)成立：

LV(x(t),t)≤-μ‖x(t)‖2

(22)

再由Dynkin公式[7]可以得到：

(23)

由于

联合V1(x(t),t)，可得：

(24)

EV(x(t),t)≥λmin(P)E‖x(t)‖2

(25)

其中，P={x|x∈R1或x∈R2},α=λmax(P)+λmax(ZTZ)，β=h+λmax(R1)+hλmax(R2).

所以由式 (23) (25)，以及引理2(Gronwell不等式),可得：

因此，由定义2可知，系统(1)是指数均方稳定的.

下面将证明当P>2时，系统(1)是指数P次方稳定的.不妨设P=2q,q≥1，则

因此,由定义2可知,系统(1)是指数P次稳定的.同理可证,当p为奇数时,结论也是成立的.

[1] HALANAY A. positive definite kernels and stability of automatic systems[J]. Revve Roumaine de mathematiques pures et appliquees, 1964,9(8)：751-765

[2] KUNTESEVICH V M,CHEKHOVEI Y N, Nonlinear systems with pulse Frequency and pulse width modulation[M]. Tekhnika, kiev, 1970

[3] ZHONG Z ,LIXIA Y E, Moment exponential stability of the critical case of PWM feedback systems with stochastic perturbations[DB/OL]. Abstract and Applied Analysis, Hindawi Publishing Corporation, 2012

[4] ZHONG Z, LIXIA Y E. Pth moment exponential stability of stochastic PWM feedback systems with time-varying delays[DB/OL]. Abstract and Applied Analysis, Hindawi Publishing Corporation, 2012

[5] HOU L N, MICHEL A N.Stability analysis of pulse width modulated feedback systems[J]. Automatica, 2001, 37(9)：1335-1349

[6] PARK J, NOVEL. Robust stability criterion for a class of neutral systems with mixed delays and nonlinear perturbations[J].Applied Mathematies and Computation, 2005(161)：413- 421

[7] HALE J.Theory of Functional Differential Equations[M]. Springer-Verlag, NewYork , 1977

[8] 钱伟.时滞系统若干问题的研究[D].杭州：浙江大学,2009

[9] KSENDAL B. Stochastic Differential Equations：An Introduciton with Applieations[M]. NewYork： Springer-Verlag，2003

Analysis of the Stability of Stochastic PWM Feedback Time-delay Systems

ZHAOQi-ling，ZHANGZhong，HANHua-hui，YELi-xia

(College of Mathematics and Statistics, Chongqing University, Chongqing 401331, China)

This paper studies Pth moment exponential stability of stochastic PWM feedback time-delay systems. First ,the paper introduces some basic concepts, through the Itisometry and the nature of the Brown motion, using Lyapunov -Krasovskii functional methods, with the help of linear matrix inequality (IMI) tools, constructs V-function,at last, gets some stability conclusions.

pulse-width-modulation (PWM)；time-delay systems；Pth moment exponentially stability；stochastic perturbations；Lyapunov-Krasovskii functional

O176.3

A

校对李翠薇

1672-058X(2013)09-0018-06

2013-04-02；

2013-05-02.

赵其领(1987-)，男，山东济宁人，硕士，从事时滞系统稳定性研究.

责任编辑：罗泽举