基于MATLAB的磁饱和式可控电抗器的仿真模型参数及过渡时间分析

田铭兴，杨雪凇，顾生杰，原东昇

（兰州交通大学 自动化与电气工程学院，甘肃 兰州 730070）

0 引言

可控电抗器在保证电网安全、可靠、经济运行方面具有重要应用价值，对于超高压长距离输电网尤其如此。文献[1-2]是关于可控电抗器应用研究方面较早的论文，指出在新建的电网中应该广泛使用可控电抗器。之后，可控电抗器的研究和应用在国内外得到了长足发展[3-5]。可控电抗器种类较多[6-7]，其中，磁饱和式可控电抗器在我国研究成果较多，并得到了实际应用[8-10]。

建模仿真方法和过渡时间计算是磁饱和式可控电抗器研究中值得关注的2个重要问题。在建模仿真方法方面，目前有3种方法：一是以文献[11-13]为代表的通过建立电抗器的微分方程并求解该微分方程的方法；二是文献[9-10]提出的用磁路分解法建立电抗器的数学模型，并建立基于PSCAD/EMTDC的仿真模型的方法；三是以文献[14-15]为代表的通过研究电抗器的等效物理模型、数学模型和等效电路，建立基于MATLAB的仿真模型的方法。较前2种方法，第3种方法具有避免或减轻自己编写仿真计算程序的繁重工作和只关注电抗器的电气特性而不使用电抗器结构尺寸等参数方面的优势。但是，文献[14-15]并未明确给出仿真模型参数和电抗器参数之间的定量关系，给这种思路的推广使用带来了不便。在过渡时间计算方面，文献[11-12]明确给出了一个计算公式，但笔者在研究中发现该公式计算误差较大。

本文拟在文献[11，15]基础上，进一步给出基于MATLAB的磁饱和式可控电抗器仿真模型参数与电抗器参数之间的定量关系，明确仿真模型参数的设置方法，并给出一个过渡时间计算的改进公式。

1 等效电路及参数计算

单相磁饱和式可控电抗器的结构原理图如图1所示[14-15]。图 1 中，绕组匝数 NA=N1+N2；自耦比 δ=N2/NA；铁芯1、2的等效磁路长度均为l，等效磁路截面积均为A；uA为工作电压；iA为工作电流；id为直流环流（控制电流）；φ1为铁芯1的磁通；φ2为铁芯2的磁通。NA匝绕组的电阻为RA，则N1匝绕组的电阻为（1-δ）RA，N2匝绕组的电阻为 δRA。

图1 结构原理图Fig.1 Schematic diagram of structure

由文献[15]可得电抗器等效电路如图2所示。由图2可得：

图2 等效电路Fig.2 Equivalent circuit

式（2）中，自耦比 δ一般取 0.015～0.05[11]，所以可以近似认为等效电路中的工作电流i1就是电抗器的实际工作电流iA，等效电路中的控制电流i2是实际控制电流（直流环流）id的2倍。式（3）中，α为晶闸管触发角，α的0时刻为电压u1的正向过零时刻，取值范围为 0～π（满载时 α=0，空载时 α=π）。

由图1、2可以看出，原、副边绕组额定电压相等，且等于电抗器工作电压的一半。同时由于2个变压器原边绕组电流相等且近似等于工作电流，所以图2中2个变压器的容量各是图1电抗器容量的一半，即：

其中，UAN、IAN、SAN分别为电抗器额定工作电压、额定工作电流和额定容量；Un、Sn分别为变压器原、副边额定电压和额定容量。

由于变压器空载电势就是其额定电压，且等于电抗器额定电压的一半，所以得：

其中，fN为额定频率（50 Hz）；ψs为铁芯饱和磁链，ψs=ANABs，Bs为铁芯饱和磁密。

本文分析中设铁芯的磁化特性如式（6）所示（小斜率理想磁化曲线）：

式（6）转化成磁链-电流关系时如式（7）所示：

其中，μ0为空气磁导率；im为磁化电流。

图2中，稳态时，对于i2平均值I2而言，有：

式中等号右边项为图2中单相可控整流桥输出平均电压。

由文献[11]可得：

其中，β为电抗器饱和度。

把式（9）代入式（8）可得：

当 α=0 时，β=βn，βn为额定饱和度。如果 βn=2π，则由式（10）可得：

由式（11）可得：

把式（5）、（12）代入式（7）可得：

由文献[11]可得工作电流基波幅值为：

把式（11）代入式（14）可得：

当β=βn时，由式（15）可得工作电流基波幅值最大值为：

由式（16）可以看出，工作电流最大值只取决于UAN、δ、RA，额定容量也一样，如式（17）所示：

由式（17）可得：

自耦比 δ一般取 0.015～0.05[11]，所以，在设计电抗器时，电抗器额定容量SAN、额定电压UAN、绕组电阻 RA应满足式（19）：

由式（17）可以看出，电抗器额定容量、额定电压、绕组电阻、自耦比之间具有约束关系。如果额定容量和额定电压给定，自耦比和绕组电阻之间必须满足式（17）的约束关系。如果自耦比不能满足式（17），就有可能出现文献[16]指出的电抗器不能工作的现象。这一结论对于设计电抗器具有指导意义。

2 仿真模型的建立及举例

2.1 仿真模型的建立

根据图2可建立基于MATLAB的仿真模型。在建立仿真模型时，最主要的是饱和变压器模型参数的确定。在MATLAB/SimPowerSystem中，饱和变压器模型中需要指定变压器的额定容量Sn、额定频率fn、原（副）边绕组的额定电压 Un1（Un2）、原（副）边绕组的绕组电阻R1（R2）和原（副）边绕组的绕组漏感L1（L2）、铁芯的磁化特性（磁化电流和磁链的关系曲线，由离散点描述）、铁芯有功损耗电阻Rm。这些参数中，除了 Sn、 fn、Un1（Un2）是国际单位制（SI）单位以外，其余参数可以是国际单位制单位，也可以是标幺值。

当给定满足式（19）的电抗器额定容量SAN、额定电压 UAN、额定频率 fN、绕组电阻 RA时，可由式（4）算得MATLAB中变压器模型的额定功率和额定电压，其额定频率就是电抗器的额定频率。由式（18）算出δ后，由式（13）可以算出磁化特性，此时，磁化电流可由式（16）或给定。若用标幺值表示磁化特性，则根据MATLAB/SimPowerSystem中饱和变压器模型参数基值定义方法可计算得：

注意，当忽略变压器模型中原、副边绕组的绕组电阻和漏感时，变压器模型的原、副边绕组电阻、电感可以设定为0，但是在这种情况下，MATLAB/SimPowerSystem希望把原、副边绕组电阻设定为足够小的非零数，如10-10Ω；也可以把图2中的电阻RA移到变压器模型中而作为变压器的原、副边电阻（每个变压器的原、副边电阻均为RA/2）。当忽略铁芯有功损耗时，变压器模型中的电阻Rm可以设置为足够大的数，如1010Ω。

由以上分析可以看出，在建立图2的MATLAB/SimPowerSystem仿真模型时，用标幺值表示变压器的磁化特性特别方便，因为此时磁化特性由式（20）给定，不随电抗器的不同而变化。所以，当给定满足式（19）的电抗器额定容量SAN、额定电压UAN、额定频率fN、绕组电阻RA时，就可以建立图2的MATLAB/SimPowerSystem仿真模型，从而对图1所示电抗器进行仿真，而无需知道电抗器的几何尺寸等其他参数。

2.2 仿真举例

电抗器参数：额定容量SAN=60.044 MV·A；额定电压；额定频率fN=50 Hz；绕组电阻 RA=40 Ω。由式（17）算得 IAN=208 A；由式（18）算得 δ=0.0474。

仿真时，电抗器在0 s时刻由空载突变到满载。工作电流i1和控制电流瞬时值i2波形如图3所示；铁芯1的磁链ψ1和铁芯2的磁链ψ2及其平均值ψa1、ψa2波形如图4所示；工作电流i1的基波幅值Im1和控制电流i2的平均值I2，以及工作电流等于0条件下控制电流平均值I20波形如图5所示。

由图3—5可知，仿真结果正确反映了电抗器工作过程，所以仿真模型是有效的。

图3 工作电流i1和控制电流i2瞬时值波形Fig.3 Transient waveforms of i1and i2

图4 磁链波形Fig.4 Waveforms of magnetic linkage

图5 电流平均值波形Fig.5 Waveforms of average current

3 过渡时间计算

文献[11]给出的过渡时间计算公式为：

用式（21）可算出空载到满载的过渡时间为0.2009 s。由图5可知，在0.2009 s时过渡过程远未结束，所以根据式（21）计算由空载到满载的过渡时间误差较大。

磁饱和式可控电抗器是一个非线性系统，对其过渡时间的计算较为复杂[17]。但从图5可以看出，可用工作电流等于0条件下的控制电流（图5中的I20）的过渡时间近似作为电抗器的过渡时间，此时，由图2可得：

其中，ψd为直流磁链，即为ψ1的平均值。

根据式（13）所示的小斜率磁化特性，当ψd＜ψs时，I20=0，则由式（22）可得：

当 ψd≥ψs时，，代入式（22）可得：

由式（22）得到式（23）和式（24）的实质是对小斜率磁化特性的分段线性化。

由式（23）可得：

由式（26）可得ψd由0增加到ψs时所用时间为：

式（27）算得的t1即为图5中电流I20等于0时所对应的时间。

另外，式（24）说明，在工作电流等于0条件下，平均电流I20的建立过程等效于直流电压通过电阻对电感的充电过程，即为线性RL电路的充电过程，其充电时间常数为：

式（28）算得的τ 即为图5中电流I20按指数规律上升的时间常数。

工程中一般认为，线性RL电路充电开始后经3τ ～5τ 充电过渡过程就基本结束。所以，电抗器由空载到满载的过渡时间为：

由式（29）可算得由空载到满载的过渡时间为0.4018～0.6027 s。对照图 5可知，式（29）是比较准确的。

4 结论

a.基于MATLAB的磁饱和式可控电抗器仿真模型参数只与电抗器额定容量、额定电压、自耦比、绕组电阻和漏电感、磁化特性有关，而与电抗器几何尺寸无关。在一定近似条件下（如忽略绕组漏电感，小斜率磁化特性用标幺值表示）时，只要给定电抗器额定容量、额定电压、绕组电阻和自耦比就可以对电抗器进行仿真分析。

b.电抗器额定容量、额定电压、绕组电阻、自耦比之间具有定量约束关系。这一结论对于设计磁饱和式可控电抗器具有指导意义。

c.通过对小斜率磁化特性的分段线性化，把过渡过程分为直流磁链的线性增加和控制电流根据线性RL电路充电规律变化这2个过程，所得过渡时间计算公式比较准确。