电网经济运行分析及有功优化的迭代计算方法

程伟

（西北电力设计院，陕西西安 710075）

1 有功与无功优化计算分解及交替迭代方法的提出

目前电力系统在经济运行方面有许多较成熟的潮流计算程序和优化方法，但也存在着收敛速度慢，对节点较多的系统计算时间过长等问题[1-4]。在计算电网的潮流时，发现有功潮流和无功潮流之间弱耦合的特点，并且线路流过的有功功率主要与线路两端节点的电压相角有关，线路流过的无功功率主要与线路两端节点的电压幅值有关[5-7]。因此，可以把电力系统的最佳潮流计算，分解为有功和无功2个子优化系统。在优化有功潮流时，只考虑潮流的有功方程约束，且假定电压幅值不变；在优化无功潮流时，只考虑潮流的无功方程约束，且假定电压相角不变。为了考虑有功和无功潮流的相互关系，在2个子优化系统之间进行交替的迭代，直到收敛。采用这种将有功与无功优化计算分解又交替迭代的方法，可以使2个子优化系统的控制变量和状态变量相应地减少，计算量少，内存量也少，使得计算速度大为提高，收敛性也得到了较大改善。

本文只论及潮流的有功优化，并且在优化有功潮流时，只考虑对有功潮流的约束。在这种思想指导下，先建立电力系统经济运行的数学模型，再用经典的牛顿－拉夫逊方法计算潮流，最后再用神经网络方法进行潮流最优化，从而实现将安全和经济结合起来完成电网有功优化的目标。研究决定用新近发展起来的神经网络优化算法去求解该问题，主要出于如下三方面考虑：问题规模较大，若电力网的节点仅十到二十几个，潮流计算就有四十到上百个方程，求解是比较困难的，况且随着电网的增大，问题的规模随之大大地增加；其二，变量多而且类型也多，既有连续变量又有离散变量，既有等式约束又有不等式约束；其三，约束条件复杂，等式约束随问题的规模呈线性增长，不等式约束的数量随问题的规模扩大而大幅度增加。

针对电网是一个变量多、大规模、非线性的动态复杂系统的特点，研究依照下述第2部分所建立的数学模型，决定采用人工神经网络模型中的BP反馈神经网络[8-11]。反馈神经网络的原理就是对于一个给定的目标函数及其约束条件，构造一个能量函数，把目标函数变为无约束的能量函数，然后对应于该能量函数构建一神经网络（即一组非线性微分方程），这就完成了由实际问题映射到神经网络的工作。然后能量函数E（X）沿着神经网络所确定的轨道下降，直到下降到一个稳定平衡点，即优化问题的极小点，这就是反馈神经网络用于求解优化问题的原理。

2 数学模型建构

针对平凉地区电网的实际情况，本系统主要考虑短期经济功率分配和最优潮流2个部分。最优潮流用于决定在保证系统各元件不过载，各节点电压在容许范围内，各供电源有功和无功功率不超过容许运行范围等约束条件下，各供电源和无功补偿设备之间的经济功率分配，使得全系统在给定运行条件下消耗费用最小。

2.1 潮流计算的数学模型

依据文献[12]，一个具有几个节点的电力系统，其潮流方程的一般形式是：

2.2 电力系统经济运行的数学模型

依据文献[13]，基本目标为

2.3 电力系统最优潮流数学模型

依据文献[14]，设系统节点总数为N，支路总数为ZL，负荷节点数为LD（包括机端负荷和纯负荷），可调变压器台数为BT，补偿节点总数NB，发电机台数GS。PQ机共GQ；PG可调共GT≤GS；PV机共GV；平衡机为S；QG可调GC≤GS

有过载约束的支路数为NS，有功优化模型为

3 平凉电网的实例应用

现就平凉电力系统经济运行进行有功优化。

3.1 算法

3.1.1 潮流计算

电网的潮流计算采用“牛顿-拉夫逊算法”。所谓潮流计算是指在一定的系统结构和运行条件下，确定系统运行状态的计算。即各母线（节点）电压、各元件（支路）输送电流或功率的计算。牛顿-拉夫逊算法的基本思想是：在问题的真解附近将其线性化，再求解，逐次迭代。牛顿法具有良好的收敛性，但对初值的要求较严。对于有n个节点的电网，依据文献[12]，其潮流方程的一般形式是:

如电压用极坐标形式表示:

其修正方程式为

上式中Jab的元素为

3.1.2 牛顿-拉夫逊算法的基本步骤

1）形成节点导纳矩阵YB；

4）再由初始电压值计算雅可比矩阵的各个元素值；

5）求解修正方程式（2），求出修正量ΔV（0）i和

6）用修正量修正迭代的初始值，求出节点电压新的近似解；

7）将新的近似解作为下次迭代的初始值，重新由3）开始进入下一次迭代，直至迭代收敛为止；

8）在上述迭代收敛后，计算平衡节点功率和各元件的功率以及进行其他所需的计算。

3.2 在潮流计算的基础上再进行优化

3.2.1 优化算法框图

优化算法框图见图1。

图1 优化算法框图Fig.1 Optimization algorithm block diagram

电网有功优化模型（Ⅰ）为

针对以上的有功优化模型，下面采用BP优化算法。BP算法中要求对无约束的凸规划优化问题进行求解，因此，要求将以上的模型变换成为无约束的优化问题，同时将非线性的约束变为线性的约束。

模型变换要求：

1）将所有发电机与平衡机等同对待，同为变量；

2）θi也为变量；

3）过载约束可先不考虑。

模型（Ⅱ）为

其中，min=ViVjGij；nij=ViVjBij；

3.2.2 使用Beale-Powell方法求解模型（Ⅱ）

1）Beale-Powell算法描述。

其中，

计算：E（x，Mk）=F1（x）+F2（x）+F3（x）参见文献[4-5]。

3.3 解算的主要步骤及框图

1）进行初始潮流计算，作为优化的初值。

2）保持发电机无功功率或节点电压（控制量）为常数，进行有功功率的优化，使得费用最小化。

3）以优化结果为中间值，再进行潮流计算以获得电网有功功率的最优配置。

解题主要步骤框图见图3。

3.4 算例

以下先以参考文献[13]中所列出的例子进行检验，采用比较目标函数的值的方法，选择以下电网，其中包含11个节点（见表1）、5台发电机（见表2）、17条支路。如图4所示。

表1 11节点系统线路参数表Tab.1 11-node system line parameter

表2 发电机燃料价值系数Tab.2 Value of the coefficient of generator fuel

图2 BP算法的流程框图Fig.2 BP algorithm flow diagram

图3 解算的主要步骤框图Fig.3 Block diagram of the main steps of the solver

图4 11节点系统结线图Fig.4 11-node system wiring diagram

目标函数采用以下的三次函数：

这样可以计算出初始的燃料费用为f（x，u）=1 253.84元/h。

以下为使用BP算法后的结果，在进行计算时，选择不同的初始Mk的值，得到以下结果。

根据表3，通过仔细分析可知：

1）BP算法在进行常规的数学优化问题时，算法非常稳定。当进行优化时，初始值无论怎样选取，BP算法均能快速收敛，并且如果原问题有全局最优解的话，该方法会很快收敛于最优解。但将该算法应用于电网问题时，发现BP算法对于初值有很大的敏感性。在实际的计算过程中，当初始值有轻微改变（改变在1%以内时），该算法就会表现出强烈的不收敛性。但是如果当优化时的初始值是经过潮流计算得到的话，则算法很快收敛。由此可以看出，一方面BP算法对于电网问题具有初值敏感性的特点，另一方面也说明潮流计算所得到的结果实际上也已经是在最优值附近，因此，再进行优化，也实际上是进行轻微的调整。

2）在使用BP算法进行优化时，由于计算过程受到Mk值的约束，并且Mk的值一直都是增加的，所以一旦Mk超过最优值，算法就会陷入不收敛的结果。因此，算法中应设法改变收敛条件，使得这种情况不会发生。实际使用中可以使用判断目标函数值是否已经到了不会再改变的时候，此时就认为优化过程已结束。

3）BP算法所求出的只是局部最优值，因此，该特性限制了该算法的使用。由表3可以看出，对于不同的初始Mk的值，BP算法会得到不同的最优值，当然都是在最优值附近。在表3中分别列出了初始Mk分别取初始目标函数值的0%、20%、80%、90%、100%时所得到的最优值。在进行BP算法时，迭代很快，迭代次数均只有2次。但是不同的Mk值，最后得到的最优值稍有差异。由上述的结果可以看出，当Mk取原目标函数值的80%以上，即在最优值附近进行优化时，可以得到较好的结果；但是如果取的值离初始目标函数较远，则所得到的最优解并不好，这也说明了BP算法只是求的是局部最优解。

通过3.4节算例的验算，说明BP算法在处理潮流的有功优化问题方面是成功的，比潮流初值更精确，并且收敛速度很快，具备了应用于电网潮流优化的条件。下面用BP算法对平凉电网进行有功优化。

对于平凉地区的电网，采用运行方式一，其等值线路图如图5所示。

电网中只是针对110 kV的线路进行优化，其中有发电机3台，负荷节点7个，线路11条。所得结果如表4所示。

据表4可以看出，该例中，发电机的个数为3，也即需要优化的变量个数为3，此时对BP算法而言，初始的Mk对算法结果的影响不大。此时优化值比潮流结果要小一些。说明BP算法作为对潮流优化的方法是成功的。

表3 BP算法结果列表Tab.3 BP algorithm results list

图5 平凉地区电网等值线路图Fig.5 Grid equivalent circuit diagram in Pingliang

表4 平凉地区电网110 kV线路优化结果列表Tab.4 Grid 110 kV line to optimize the results list of Pingliang

4 结论

数值计算及应用结果均表明，本文所提出的模型是正确的，所运用的BP优化算法是稳定、收敛、快速和有效的，可以作为电力系统经济有效分析有功优化的核心软件推广使用，并且从中可以得到以下几点结论。

1）以BP算法进行有功优化，加快了运算速度且其收敛性也得以提高。可以根据不同的需要，既可单独优化有功，也可单独优化无功减少线路损耗、或进行无功补偿的地点和容量计算。

2）以神经网络方法进行电网潮流计算的有功优化，使目标函数即发电费用有所降低。由于都是以变量进行模型建造和程序设计的，并且神经网络又适合于多变量、非线性、大规模方程组的计算，所以本篇论述的方法可由小型电网向中型电网推广。

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