大跨度板架屈曲分析的非线性有限元法

刘相春，李陈峰，任慧龙，李晓宇

(1.海军装备部舰船办，北京100071;2.哈尔滨工程大学船舶工程学院，黑龙江哈尔滨150001)

0 引言

屈曲破坏作为船舶结构的破坏形式之一，屈曲强度是船舶设计阶段首要考虑的重要因素［1］。有限元法被广泛地应用于复杂的屈曲分析:对于弹性屈曲问题，通常是求解特征值问题，求解临界载荷;对于非线性屈曲问题，常用载荷增量法、位移控制的计算方法 (即弧长法)等。目前的屈曲分析方法在对大型船舶结构计算时，存在效率低，难以引入非线性，迭代计算收敛性差，无法计算复杂结构等问题。显示动态分析的非线性有限元法是用慢速运动的ABAQUS/Explicit动态分析模拟静态问题，采用中心差分法，对时间域上的动力特征进行积分，为处理复杂条件的非线性结构力学问题提供了强有力工具［2］。

极限强度定义的船体结构破坏形式计及了屈服、屈曲及组合的各种形式和各构件之间的非线性影响，结构达到承载能力极限状态时，其破坏类型分为屈曲破坏和屈服破坏［3］。由此，进行极限强度分析以分析船体结构破坏形式，进而探讨结构屈曲强度问题的方法，目前被认为是合理的。如何采用非线性有限元ABAQUS/Explicit方法，应用极限强度的分析思想，解决大跨度板架的屈曲问题显得尤为重要。

1 板架结构的等效简化

1.1 大跨度板架概述

某大型客滚船的大跨度双层甲板板架，其结构型式非对称、跨度大，参数如表1所示。

表1 某大型客滚船板架参数Tab.1 Grillage parameters of a Ro-Ro passenger ship

由于板架的有限元模型单元数目过多、自由度过大以及材料的非线性，对其应用弧长法、ABAQUS/Explicit方法等非线性有限元方法进行屈曲分析，受到计算机计算时间过长、收敛性问题的限制而很难完成。因此，对模型进行梁系等效简化是必要的。一般在船舶设计初期进行板架稳定性的初步计算时，大都可以采用简单板架的计算模型。该板架的长高比L/H为164.0/2.9，远大于3倍，在构件型式及布置上均可视为空间梁系，因而采用空间梁系结构进行等效简化是可行的。

1.2 板架结构梁系等效简化

板架的纵舱壁和横舱壁的编号及布置如图1所示。纵舱壁L01～L03，横向壁板T01～T13作为梁系的主体框架，1，2甲板及其他构件作为带板计入其剖面参数计算，考虑剖面的垂向惯性矩I1，水平惯性矩I2，剖面面积A，剖面型心位置e(x，y，z)。

图1 纵舱壁和横舱壁编号及布置Fig.1 The number and disposal of longitudinal and transverse bulkheads

根据文献 ［4］中关于“结构稳定性校核”的规定，确定受压构件的带板宽度。单跨带板构件的欧拉应力计算公式为

式中:σE为单跨带板纵骨理论欧拉应力;i为单跨带板受压构件剖面面积;A0为单跨带板受压构件剖面面积;l为纵桁(纵舱壁)间距;b为强横梁 (横向壁板)间距;φ=σE/σS，σS为材料屈服限。

由此计算各舱壁板连带板的剖面参数，完成后对各剖面数据进行等效［5］:根据惯性矩I，面积A，型心位置e等效的原则，编写梁截面等效Fortran程序:根据剖面形式特点，选用I型截面梁，程序输入为惯性矩I1，I2，截面面积A，输出为I型截面梁的各参数。根据梁系等效简化结果建立有限元模型，如图2所示。

图2 等效简化梁系有限元模型Fig.2 FE model of the simplified equivalent beams

1.3 边界条件与载荷施加

对于受到周围构件支持的船舶板架结构，四边对转角的约束程度既不是极小值也不是极大值，而是具有一定大小的弹性转角约束。但在目前基于非线性强度分析与设计方法中，为了简化及偏于安全起见，一般都取为四边简支约束。出于同样的考虑，对等效梁系模型进行四边简支约束。

根据实船板架受力特点，对梁系施加轴向压力载荷:特征值屈曲分析时，DC边 (见图3)沿x轴负向施加集中载荷Fx;非线性有限元分析时，DC边沿x轴负向施加位移载荷ux，分析时间内线性加载。

图3 梁系的边界条件与载荷Fig.3 Boundary conditions and loads of beams

2 特征值屈曲分析

2.1 目的

特征值屈曲分析又称线弹性失稳 (第一类稳定)分析，分析的目的旨在:不考虑结构非线性因素的影响，寻找结构在屈服限σS范围之内的失稳临界点 (极限载荷的上限)，即屈曲欧拉应力σE，研究结构在特定载荷下的稳定性、结构失稳载荷以及与非线性有限元屈曲分析结论的一致性验证。

结构取线弹性材料，不考虑结构的型心偏置，采用MSC.Nastran软件进行特征值求解得到的临界应力值，在许多情况下与实际工程中一般表现的第二类失稳破坏的临界值相差不大，因此特征值屈曲分析仍有重要的工程意义。

2.2 分析

MSC.Nastran软件对线性屈曲问题的分析，是通过提取使线性系统刚度矩阵奇异的特征值来获取结构的临界失稳载荷及失稳模态。因此，临界屈曲载荷Fcr=屈曲特征值BEi×静态载荷FS，从而σcr=Fcr/A，A为结构断面面积。找出结构的前二阶失稳模态，结果如表2所示。

表2 欧拉应力σE计算表Tab.2 Calculation table of Euler stress σE

欧拉应力σE为836.3 MPa，根据船舶设计稳定性要求:在占一半船长的中部区域，整体板架的纵向骨架的欧拉应力与其材料屈服极限的比值不小于1.5～2.0，该大跨度板架σE/σS≈2.144，满足上述要求。

此外，基于线弹性分析方法，在屈服限范围内无法找到结构的屈曲欧拉应力σE。在压溃破坏的情况下，材料非线性是更为重要的非线性因素，需对其进行非线性屈曲分析，得出结构破坏的极限状态应力。

3 非线性分析ABAQUS/Explicit方法

3.1 显式动态分析的有限元法

非线性有限元分析方法很好地考虑了影响船体结构极限承载能力、破坏形式的一些敏感因素，例如材料的弹塑性属性、结构的几何非线性行为以及结构的屈曲强度和后屈曲强度等。

ABAQUS/Explicit显式动态分析 (准静态)的优势在于解决非线性问题。它采用中心差分法显式对运动方程在时间域上进行积分，利用上一个增量步的平衡方程动态地计算下一增量步的状态，其显式动力学求解过程如下:

1)节点计算

节点计算包括求解动力平衡方程，对时间显式积分确定加速度、速度和位移。

动力平衡方程为

对时间显式积分为

2)单元计算

单元计算包括确定单元应变和应用材料本构关系 (单元刚度)，确定单元应力，然后计算内力。

①根据应变速率ε·，计算单元应变增量dε。

②根据本构关系计算应力σ，

③ 汇集节点内力I(t+Δt)。

3)设置t+Δt为t，返回步骤1)。

ABAQUS/Explicit的求解仅依赖于一个稳定增量步长，而与载荷的类型和持续时间无关。随着载荷的施加，结构刚度剧烈变化，由于在分析过程中不需要形成总体刚度矩阵，也不必为求解总体平衡方程进行迭代计算，因此ABAQUS/Explicit非线性有限元分析可以高效地求解复杂的非线性问题。

3.2 大跨度板架屈曲分析

基于极限强度的分析思想，由应力-应变关系曲线 (见图4)判断结构的破坏形式。根据曲线1和曲线2可以认为板架的整体稳定性较好，发生的主要破坏形式是屈服破坏［6］;曲线3则表明由于发生屈曲结构整体崩溃，即屈曲破坏。

图4 弹塑性材料轴向作用应力-应变关系曲线Fig.4 Stress-strain relation curve of plastic material

该大跨度板架的有限元分析参数设置与分析结果如表3～表5，图5～图8所示。

表3 非线性有限元分析参数设置Tab.3 ABAQUS/Explicit NFEM parameters setting

图5 梁系结构应力-应变曲线Fig.5 Stress-strain relation curve of beam component

图5为结构达到极限状态的应力-应变曲线。图中横坐标表示结构的应变ε，纵坐标表示结构的应力σx与材料屈服应力的比值σs，即为无量纲系数 σx/σs，其中，σx=Fx/A。

图6 梁系极限状态 (变形放大系数=2.5)Fig.6 Ultimate state of beam(magnify coefficient of distortion=2.5)

表4 极限状态临界应力σcr计算表Tab.4 Calculation table of ultimate state critical stress

由图5、图6及表4所示，σcr/σS≈0.957接近于规范对其0.97的要求。梁系结构在加载至15.811 6 s，应变量为0.025 03时，结构承载能力下降，在结构达到屈曲临界应力前，由图7和图8可知，结构在加载至11 s时，构件首先出现屈服，直至结构破坏。

表5 欧拉应力σE与临界应力σcr计算结果比对Tab.5 Calculation results contrast table of Euler stress σEand critical stress σcr

由表5分析结果可知，线性屈曲特征值分析与非线性有限元分析均得到了σE或σcr，并满足规范对其与屈服限比值的要求。

4 结语

采用结构等效的方式，对大跨度板架进行空间梁系简化，给大跨度板架屈曲分析提供了新思路，有效地解决了大跨度板架屈曲稳定性分析困难的问题。

特征值屈曲分析得到的大跨度板架的欧拉应力大于材料屈服限，即基于线弹性分析方法，在屈服限范围内无法找到结构的屈曲欧拉应力，该板架在结构屈服破坏前不会发生整体屈曲破坏。

通过ABAQUS/Explicit非线性有限元分析，得到该大跨度板架的极限强度接近材料的屈服应力，可以认为该板架的整体稳定性较好，这与特征值屈曲分析得出的分析结论是一致的。因此，本文方法对大跨度板架的屈曲分析具有优越性和重要意义。

［1］束长庚，周国华.船舶结构的屈曲强度［M］.北京:国防工业出版社，2003.SHU Chang-gen，ZHOU Guo-hua.Buckle strength of ship structure［M］.Beijing:National Defence Industry Press，2003.

［2］ABAQUS/Explicit有限元软件入门指南［M］.庄茁，等译.北京:清华大学出版社，1999.33-37.

［3］彭可可，贺国京.大跨度桥梁极限承载力的双重非线性分析［J］.中南林学院学报，2006，26(3):74-76.PENG Ke-ke，HE Guo-jing.Dual nonlinear analysis of the ultimate load apacity of long-span bridge［J］.Journal of Central South Forestry University，2006，26(3):74-76.

［4］中国船级社.钢质海船入级与建造规范［S］.2006，2(1):333-340.China Classification Society.Rules and regulations for the construction and classification of sea-going steel ships［S］.2006，2(1):333-340.

［5］万琪，王福花.大跨度无支撑甲板纵向稳定性分析和优化设计［J］.中国造船，2011(1):17-25.WAN Qi，WANG Fu-hua.Longitudinal stability analysis and optimum design of supportless long-span deck structure［J］.Shipping of China，2011(1):17-25.

［6］周海仲.船体结构极限强度的非线性有限元分析［D］.哈尔滨工程大学，2010.70-71.ZHOU Hai-zhong.The ultimate strength analysis of the ship structures based on NFEM［D］.Harbin Engineering University，2010.70-71.