低雷诺数圆柱绕流的大涡模拟分析

李 霖，张志国，王先洲，冯大奎

(华中科技大学船舶与海洋工程学院，湖北武汉430074)

0 引言

一个世纪以来，圆柱绕流问题一直是经典的流体力学问题之一，也是众多理论分析、数值模拟以及实验研究的对象［1-2］。尽管研究历经时间如此之长，但这种最简单的流动现象物理本质的理解依然不完整。闵强利［3］计算了2种雷诺数Re=200，800情况下的圆柱绕流，发现在Re=200时产生的卡门涡街非常规则，而随着雷诺数的增加，Re=800时，涡街出现不规则现象，并表现出三维效应。文献 ［4-5］研究了不同截面形状在低雷诺数下的绕流场，并重点研究了阻力、升力的周期性变化特性。

随着计算机硬件的不断发展，大涡模拟作为一种新的湍流模型相比原来的湍流模型在求解非稳态流动方面具有巨大的潜力。大涡模拟方法的基本思想是用瞬时的N-S方程直接模拟计算湍流中的大尺度涡，而小尺度涡对大涡的影响则通过建立近似的模型来考虑，这种影响模型称为亚格子尺度模型。王汉青［6］等人介绍了大涡模拟的理论进展和发展趋势，描述了当前大涡模拟在工程中的具体应用。指出大涡模拟在模拟计算从层流到湍流转换、非定常湍流和高速湍流方面具有其他湍流模型无可比拟的优势。傅慧萍［7］以潜艇模型SUBOFF为研究对象，采用大涡模拟 (LES)方法求解了流动的非定常解。通过与试验值以及采用RNGk-ε湍流模型得到的定常结果比较，验证了大涡模拟方法的有效性。

本文采用大涡模拟方法求解低雷诺数下的圆柱绕流场，研究卡门涡街的周期性特性。对一个完整的涡街脱落周期进行详细讨论，揭示了不同时刻旋涡的生成、发展、脱落和演化过程。通过研究圆柱表面的压力变化说明产生周期性脱落涡对的原因，以及产生周期性变化的升、阻力的原因。

1 数值算法

自然界中的流动现象基本可以通过基于连续性假设的纳维叶-斯托克斯方程 (N-S方程)来描述。在应用于大涡模拟方法时，需要对N-S方程进行一定过滤处理。

对于亚格子尺度模型［8］，采用标准 Smagorinsky［9］模型的方法。

式中，vol是计算单元的体积。

亚格子尺度可表示为

式中，Smagorinsky 常量 Cs取为 0.255［10］。

2 计算模型

本文所采用的计算模型为直径D=0.04 m的圆柱。来流速度为U=0.01 m/s，计算的雷诺数Re=400。计算域为方形，沿着来流方向长度为7.5D，尾流去流段长度为40D，两侧宽度为7.5D。流动在选定的计算域内能够充分发展，圆柱周围采用边界层网格，能够捕捉圆柱周围的细微流动。图1为计算域示意图，图2为圆柱周围的网格划分。

3 计算结果与分析

3.1 计算结果与实验结果对比

表1为计算所得的斯特劳哈尔数(St)以及阻力系数(Cd)与文献中实验结果的对比。

表1 实验结果与计算结果Tab.1 Results from experiment and simulation

计算结果与实验结果吻合良好，说明采用本文的数值计算方法是准确而可靠的。

3.2 涡街脱落

图3～图8为圆柱绕流非稳态流动中一个典型的涡街脱落周期中不同时刻圆柱周围的压力场分布。反映了一个典型涡街脱落周期内漩涡的初生、形成、脱落及在尾流中不断发展的整个过程。从图3可看出，t=0时刻，上一周期脱落形成的涡在圆柱尾流中逐渐发展，圆柱的右下方约45°的位置形成一片明显的负压区，旋涡在负压区内逐渐生成。图4中t=1/5T时刻，圆柱右下方的漩涡完全生成，沿着尾流方向移动，并有逐步脱落的趋势。而图5中t=2/5T时刻，圆柱右下方形成的漩涡完全脱落并沿着尾流方向发展。图6中t=3/5T时刻，之前由圆柱右下方脱落的漩涡在尾流中逐渐发展，同时在圆柱的右上方约45°的位置形成一片负压区，旋涡在负压区内逐渐生成。图7中t=4/5T时刻圆柱右上方的漩涡完全生成，沿着尾流方向移动，并有逐渐脱落的趋势。最后圆柱右上方形成的漩涡在t=T时刻完全脱落 (图8)，脱落的漩涡在尾流中不断发展，改变着圆柱周围的压力场分布。圆柱右上方区域和右下方区域形成的漩涡交替脱落，在尾流中不断发展，形成了典型的卡门涡街。

3.3 水动力特性

圆柱在绕流场中受到的主要水动力为阻力和升力。通过无量纲化，可以用阻力系数Cd及升力系数CL来表征。

式中:D和L分别为圆柱所受的阻力和升力;U为来流速度;ρ为流体密度;L为特征长度，本文取为圆柱直径。

图9为计算求取的稳定的非稳态计算时间内圆柱的阻力系数、升力系数时程曲线。计算时时间步长取为0.05 s。计算所得的结果是在非稳态计算了较长时间，流动发展相对较为稳定时提取出来的。

图9 阻力系数和升力系数时程曲线Fig.9 Time-history curve of drag and lift coefficient

由图9可知阻力和升力都呈现周期性的变化，这是由于周期性脱落的卡门涡街引起的。周期性脱落的漩涡造成了圆柱周围压力场的不断变化。升力系数基本在0左右波动，而阻力系数基本在1.4左右波动，这说明阻力对圆柱的作用非常强，升力对圆柱的作用一般。文献［11］指出，升力以斯特劳哈尔涡泄频率fs变化，阻力以2倍涡泄频率2fs变化。由图9可以看出，阻力变化的频率是升力变化频率的2倍。进一步对升力做功率谱密度分析，可以得到涡泄频率fs，图10为升力功率谱密度。图10中的尖峰对应为斯特劳哈尔涡泄频率fs，其值在0.05 Hz附近，与文中之前计算的斯特劳哈尔数 (St=fs*D/U)是对应的。

图10 升力功率谱密度Fig.10 The power spectral density of lift

为了深入研究圆柱上阻力和升力脉动的变化，可以研究圆柱瞬态的升力、阻力系数。非稳态阻力系数可以定义为

非稳态升力系数可以定义为

角度θ的定义见图11;图12为典型的涡街脱落周期中不同时刻圆柱周向的压力系数变化。

图12可看出，圆柱压力系数在1个周期内变化基本是对称的。圆柱驻点处(θ=0°和θ=360°)压力系数Cp有最大值，在1附近;随着来流向圆柱两侧扩展，压力系数迅速减小。在θ=80°和θ=280°附近，流动产生分离，圆柱驻点后方的压力在不同时刻呈现出较为规律的周期性变化。对比t=1/5T和t=4/5T时刻可以看出，在t=1/5T时刻圆柱的右下方区域 (180°～270°)的压力大于右上方区域(90°～180°)，此时圆柱具有最大的负升力;在t=4/5T时刻圆柱的右下方区域 (90°～180°)的压力大于右下方区域 (180°～270°)，此时圆柱具有最大的正升力。这样升力就完成了1个涡街脱落周期中由最大正升力向最大负升力的转变。上述过程不断进行，就形成了升力的周期性变化。

4 结语

采用大涡模拟的方法研究了雷诺数Re=400的圆柱绕流场，准确捕捉了卡门涡街这一经典流动现象，同时通过对水动力特性的研究，得出以下结论:

1)采用大涡模拟的方法进行低雷诺数圆柱绕流场的研究是准确可靠的，大涡模拟作为一种新的湍流模型是值得深入研究和普遍运用的;

2)圆柱的涡泄频率是和圆柱的升力功率谱相互对应;

3)圆柱表面压力的周期性变化是诱发漩涡周期性生成和脱落的原因。

本文仅用大涡模拟对二维圆柱进行了绕流场的分析，但实际的流动都是具有三维效应的，故今后将运用大涡模拟对圆柱的三维绕流场继续研究。

［1］MAIR W A.Bluff bodies and vortex shedding［J］.Journal of Fluid Mechanics.，1971，45:209-224.

［2］MUJUMDAR A S.，DOUGLAS W J M.Vortex shedding from slender cylinders of various cross sections［J］.Journal of Fluids Engineer，1973，95(3):474-476.

［3］闵强利.低雷诺数卡门涡街数值模拟［J］.四川兵工学报，2009，30(11):81-84.MIN Qiang-li.Simulation of Karman Vortex Street at low Reynolds number［J］.Journal of Sichuan Ordnance，2009，30(11):81-84.

［4］LEI Yue.Investigation of the flow and heat transfer around cylinders at low Re［J］.Advanced Materials Research，2011，156-157:1630-1634.

［5］BOGRAD D D，GARRISON D H.Moment and heat transfer from cylinders in laminar cross-flow at 10-4≤Re≤200［J］.International Journal of Heat and Mass Transfer，1998，41(22):3409-3430.

［6］王汉青，王志勇，寇广孝.大涡模拟理论进展及其在工程中的应用［J］.流体机械，2004，32(7):23-27.WANG Han-qing，WANG Zhi-yong，KOU Guang-xiao.Theoretical development and application of Large Eddy Simulation in engineering［J］.Fluid Machinery，2004，32(7):23-27.

［7］傅慧萍，缪国平，大涡模拟在噪声计算中的应用［J］.上海交通大学学报，2009，43(8):1307-1312.FU Hui-ping，MIAO Guo-ping.Application of LES method to flow noise calculation［J］.Journal of Shang hai Jiaotong University，2009，43(8):1307-1312.

［8］FENG W，FERNANDO，STOLL R.Evaluation of dynamic subgrid-scale models in large-eddy simulations of neutral turbulent flow over a two-dimensional sinusoidal hill［J］.Atmospheric Environment，2007，41(13):2719-2728.

［9］BOGEY C，BAILLY C.Large eddy simulations of round free jets using explicit filtering with/without dynamic Smagorinsky model［J］.International Journal of Heat and Fluid Flow，2006，27:603-610.

［10］MOIN P，KIM J.Numerical investigation of turbulent channel flow［J］.Journal of Fluid Mechanics，1982，118:341-377.

［11］SCHLICHTING H.边界层理论［M］.北京:科学出版社，1979.SCHLICHTING H.Theory of boundary layer［M］.Beijing:Science Press，1979.