基于添加法的新型换流变压器数学建模及短路故障计算

张 杰，王卫安，马雅青，唐剑钊，任 涛

（南车电气技术与材料工程研究院，湖南 株洲 412001）

0 引言

新型换流变压器具有特殊的绕组布置结构与阻抗匹配关系，其阀侧绕组抽头处接全调谐滤波装置，通过发掘变压器的电磁潜能，利用内部耦合绕组在谐波频率下的安匝平衡作用，把谐波隔离在二次绕组并就近抑制，避免谐波流窜至一次侧电网而扩大污染和危害，并可有效削弱谐波磁势对变压器所产生的不良影响。由于该种滤波方式较之无源滤波与有源滤波有诸多优点，因此特别适合于因非线性负荷的作用而存在大量谐波与无功的直流输电系统[1-4]。

为了实现该新型换流变压器的产业化，还需要完成大量的研究工作。本文主要研究不仅能建立新型换流变压器正常状态、内部故障的数学模型，而且能对其内外部故障进行计算的通用方法。这对新型换流变压器运行特性的分析与计算，揭示新型换流变压器各处的电压、电流等电气量的分布及其规律，制定新型换流变压器保护方案，实现保护方案参数的整定具有重要意义。

传统的变压器数学模型推导一般以严格的变压器理论基础方程式展开[5-6]，但过程较为繁琐，不适用于复杂多绕组变压器模型的建立，而且由于经过等效，其物理含义在一定程度上被弱化。文献[7]采用稀疏列表法来建立变压器数学模型，该方法不足之处在于所建方程阶数比较高，而且后续故障处理比较麻烦，灵活性不高。相分量法[8-9]比较直观，其数学模型完全再现原系统的物理结构，而且在不对称电力系统故障计算方面优于对称分量法[10-11]，故障处理简单灵活，因此文献[12-13]采用相分量法来建立变压器的数学模型，采用的建模方法一般是借助关联矩阵A，通过矩阵运算形成节点导纳方程，然而该方法并不适用于网络的计算机辅助分析，原因在于占用内存量大及运算效率低[14]。 文献[7，13]的另一个不足在于仅推导了新型换流变压器正常状态的数学模型，并没有给出建立新型换流变压器内部故障模型以及计算其内外部短路故障的方法，因此，其算法应用范围相对比较狭窄。

本文基于添加法建立电网络方程的原理[14]，首次把添加法应用于新型换流变压器数学模型的建立和短路故障计算，并通过实际算例验证了本文数学模型和短路故障计算方法的正确性。

1 添加法建立节点导纳方程原理

对于一个节点数为n、支路数为b的电力网络而言，设节点导纳矩阵为Yn、支路导纳矩阵为Yb、电压源列向量为US、电流源列向量为IS、节点电流列向量为In。运用关联矩阵法建立节点导纳方程，在求得节点导纳矩阵Yn及节点电流列向量In中需要进行矩阵运算Yn=AYbAT及In=AIS-AYbUS，事实上，由于关联矩阵A所含元素仅为0、+1、-1，所以与A或AT的乘法运算实质上仅是某些元素的加减运算，因此进行乘法运算是无谓且低效的。而且，从上面的矩阵运算公式可以看出，要建立方程至少需存放关联矩阵A、支路矩阵Yb及节点电流列向量In。存放最终得到的网络方程仅需n2+n个单元，但存放矩阵A却需要n×b个单元，存放矩阵Yb需b×b个单元，显然存放矩阵A及Yb的单元数量远大于n2+n。

因为节点导纳方程实质上是n个节点的KCL方程，方程左边以流出节点电流为正，方程右边则以流入节点的电流为正，因此列出电网络中某条支路的KCL方程，就可以确定该条支路对网络方程贡献的大小及其出现在网络方程中的位置。添加法正是基于此思路来建立电力网络的节点导纳网络方程，具体实现过程如下：建立初始方程时，节点导纳矩阵及右端节点电流列向量里面的元素全为零，扫描一个支路就将它对方程的贡献填到合适的位置，这样逐次扫描，逐次添加，直至网络中每一个支路均被扫描，网络方程便被建立起来。添加法实质上是支路在网络方程中的贡献逐个添加的方法[14]。由于没有借助于关联矩阵，因此无需存放关联矩阵和支路矩阵，并且省去了与关联矩阵A相关的矩阵运算，从而极大节省了算法占用的计算机内存，并提高了运算的效率。

2 新型换流变压器正常状态数学模型

2.1 新型换流变压器接线方案及耦合电路

新型换流变压器具体接线方案如图1所示[7]。

图1 新型换流变压器接线方案Fig.1 Connection scheme of converter transformer

图1 中 Ii（i=1，2，…，15）表示各支路电流，其中I1=IS1、I2=IS2、I3=IS3分别表示 A、B、C 相激励电流。 新型换流变压器由3个单相三绕组变压器连接而成，由图1接线可得出表征新型换流变压器三相绕组具体连接方式的耦合电路，如图2所示。为了给变压器二次侧提供一个参考接地点，同时也是为了简单起见，便于叙述本文算法，滤波器中性点选择接地（没有具体考虑工程实际接法）。

图2 中，R1、R2、R3和 L1、L2、L3分别表示 A、B、C各相一次侧绕组、二次侧延边绕组与公共绕组的电阻和自感；M12、M13、M23分别表示每相中各绕组间的互感，将单相新型换流变压器各绕组的电阻、电感参数写成矩阵形式，有：

图2 新型换流变压器耦合电路Fig.2 Coupled circuit of converter transformer

2.2 正常状态R、L矩阵元素的求解

在建立新型换流变压器正常状态数学模型时，需要得到新型换流变压器正常状态下各绕组的R、L矩阵的参数。由于缺少零序短路试验数据，不能应用ATP仿真程序中的BCTRAN子程序计算R、L矩阵参数[15]，而且BCTRAN子程序也不支持具有特殊绕组连接方式的新型换流变压器的R、L矩阵参数计算。

鉴于此，本文采用电磁场有限元计算方法[16]，根据新型换流变压器实际制造尺寸，利用有限元分析软件Ansoft来建立变压器的有限元分析模型，求得新型换流变压器各绕组的电阻、自感与互感。求解的过程如下：

a．根据新型换流变压器铁芯的结构尺寸和绕组的布置，建立新型换流变压器几何模型；

b．根据磁势平衡原理，对新型换流变压器原副边绕组施加激励电流源；

c．设置求解自感、互感矩阵的选项；

d．对几何模型进行剖分，形成有限元模型，选择默认的求解算法进行求解；

e．进行求解后处理，求得三相新型换流变压器正常状态下的R、L矩阵参数，由于三相参数对称，因此可得单相新型换流变压器R、L矩阵参数。

当求匝间或匝地短路R、L矩阵参数时，需根据正常状态R、L矩阵参数通过公式变换求得，具体方法参考文献[17]。

2.3 正常数学模型的推导

由图2可以得到图1的有向图，如图3所示。图中，数字1～15为支路的编号，①～⑨为节点的编号，0代表接地点。文献[13]采用借助关联矩阵A的方法来建立图3所示电网络的节点导纳方程，该算法存放矩阵A、支路导纳矩阵Yb和最终得到的节点导纳方程，共需要单元 9×15+15×15+（92+9）=450 个，远大于存放最终得到的节点导纳方程需要的单元92+9=90个。本文采用添加法直接形成图3所示电网络的节点导纳方程，设定支路电压和电流取关联方向。根据图1和图2，将图3的支路分为3类：耦合支路4～12；滤波支路 13～15；电流源支路 1～3。

应用添加法建立该电网络节点导纳方程的关键在于确定每一类支路对方程的贡献。

由图2可知，互相耦合的支路，A相为4～6，B相为支路7～9，C相为支路10～12，互相耦合支路的电流均流入同名端。互相耦合支路的自阻抗分别为z11=R1+jωL1，z22=R2+jωL2，z33=R3+jωL3；互阻抗分别为 z12=z21=jωM12，z13=z31=jωM13，z23=z32=jωM23。 自阻抗与互阻抗具体的数值可代入2.2节求解的R、L矩阵参数进行计算。设zp表示单相互相耦合支路的阻抗矩阵，则有：

可得整个网络的耦合支路阻抗矩阵为：

则变压器耦合绕组的支路电流与支路电压关系的矩阵式可以表示如下：

其中，Yt表示新型换流变压器耦合支路的导纳矩阵。

根据图3所示的有向图，将式（4）改写为：

设 Yt（i，j）为矩阵 Yt的 i行 j列的元素，将式（6）展开，考虑到矩阵Yt的对称性，支路4～12的电流可写为：

由式（7）可见，耦合支路对网络方程贡献的位置在节点导纳矩阵。设Y（i，j）b表示支路b对节点导纳矩阵的一个贡献，具体位置处于节点导纳矩阵Y的i行j列。由式（7），根据图3所示的有向图，可确定耦合支路4～12对节点导纳矩阵的贡献。

a.A相互耦支路4～6。

互耦支路4～6连接的节点为①、④、⑦、⑧。

支路4的电流从节点①流出，流入参考节点。它对节点①的贡献为：

支路5的电流从节点④流出，流入节点⑦，它对节点④的贡献为：

支路5对节点⑦的贡献为：

支路6的电流从节点⑦流出，流入节点⑧，它对节点⑦的贡献为：

支路6对节点⑧的贡献为：

由上面的推导过程可知：耦合支路对节点的贡献不仅和与之直接相连的节点相关，还和与之耦合的支路两端的节点相关。

同理可得到B相互耦支路7～9、C相互耦支路10～12对网络方程的贡献。

b.滤波支路13～15对网络方程的贡献。

设每相滤波支路在基频下的导纳为yk，滤波支路13～15对网络方程贡献的位置也位于节点导纳矩阵。支路13～15的电流分别从节点⑦、⑧、⑨出发，均流入参考节点。

支路13对节点⑦的贡献为：

支路14对节点⑧的贡献为：

支路15对节点⑨的贡献为：

最终的节点导纳矩阵Y第i行的元素由与节点i相连的所有支路对该节点贡献的节点导纳元素之和构成。综合支路4～15对节点的贡献，可得最终的节点导纳矩阵Y的全部元素。

c.电流源支路1～3对网络方程的贡献。

支路1～3是电流源支路，因此对节点电流列向量有贡献。设I（i，1）b表示支路b对节点电流列向量的贡献，具体位置处于节点电流列向量I的i行1列。

支路1～3的电流均从参考节点出发，分别流入节点①、②、③。因此支路1～3对节点电流列向量的贡献分别为：I（1，1）1=IS1；I（2，1）2=IS2；I（3，1）3=IS3。

至此，得到节点导纳矩阵Y和节点电流列向量I的全部元素。因此可以求得新型换流变压器正常数学模型为：

3 新型换流变压器内部故障数学模型

单相新型换流变压器一次绕组发生匝地短路和匝间短路时的示意图如图4所示。由于正常状态的新型换流变压器可视为由3个彼此磁耦合的线圈组成，因此，若新型换流变压器的某个绕组发生匝地故障或匝间故障，则发生匝地故障的绕组被分开看作存在耦合的2个线圈，发生匝间故障的绕组被看作互耦的3个独立线圈，即图4（a）的绕组1由故障点分裂成了a、b 2个线圈，图4（b）的绕组1由故障点分裂成了a、b、c 3个线圈。由于变压器的线圈之间是通过磁场联系在一起的，当变压器发生内部短路故障时，故障线圈的结构以及线圈之间磁场和电场都要相应地发生变化，从而引起变压器参数的变化，因此，在新型换流变压器内部故障数学建模中，需要确定故障后新型换流变压器R、L矩阵参数，其求解的基本思路可参考文献[17]，在此不再叙述。

图4 新型换流变压器内部故障示意图Fig.4 Sketch map of converter transformer with interior faults

假设图1新型换流变压器A相一次绕组内部发生故障的点为F，将该故障绕组看成2个线圈的耦合，对应的内部故障有向图如图5所示。

图5 新型换流变压器内部故障有向图Fig.5 Digraph of converter transformer with interior faults

与图3正常新型换流变压器有向图相比，图5将图3的支路4分裂成2个支路，分别为图5的新支路4和新支路16，两支路的交叉点为新增的故障节点F，编号顺序为⑩。图5的支路4、5、6、16相互耦合，需要确定这些支路对内部故障网络方程的贡献，而其他支路对网络方程的贡献不变。因此，修改式（7）的支路电流方程：去掉式（7）的前3个方程，并用支路4、5、6、16的电流方程代替，其余的支路电流方程无需变化。利用求出的一次绕组匝地故障R、L矩阵参数，求出互耦支路 4、5、6、16 的支路导纳矩阵 Yf各元素的值，则有：

设内部故障节点导纳矩阵为YFA，根据图5的有向图，由式（9）可以得到耦合支路 4、5、6、16 对网络方程的贡献，推导过程与上相同。

内部故障节点导纳矩阵YFA与正常状态节点导纳矩阵Y相比，由于新增添了一个故障节点⑩，YFA多了一行一列；由于新增的故障节点⑩是互耦支路4、5、6、16相连的一个端点，因此这些互耦支路对支路两端的节点①、④、⑦、⑧、⑩的某些贡献发生了变化，从而导致了YFA第1、4、7、8行的部分非零元素不同于Y相应位置的元素，YFA第10行的元素体现了支路对新增的故障节点⑩的贡献；由于支路4、5、6、16之外的其余支路对网络方程的贡献不变，因此YFA其余行的非零元素位置和大小与Y相同。

这样，新型换流变压器内部故障数学模型为：

由图5或式（10）可知，绕组上的故障点F由原来的不可见变为清晰可见的节点，因此可以方便地对F点施加接地短路来模拟匝地故障，将F点与其他的端点相连来模拟匝间短路故障。通过改变图4线圈a的匝数na来改变故障点F的位置，求解出相应的R、L矩阵参数，并代入前面确定的YFA各元素的表达式中，便可以通过式（10）来计算故障点F位于绕组任意位置时新型换流变压器各电气量的稳态值，以及随着故障点位置F的改变，新型换流变压器各电气量变化的规律。当图5的F点不施加故障时，式（10）的数学模型将变为新型换流变压器正常状态的数学模型。除节点F之外，该模型其余节点的电压的计算结果应该与式（8）的数学模型的计算结果一样，而此时F点的电压与匝数成正比，即：

4 新型换流变压器短路故障计算

基于式（8）所示的新型换流变压器正常状态数学模型或式（10）所示的新型换流变压器内部故障数学模型，本文采用添加法计算新型换流变压器短路故障，其故障计算的思路是根据新型换流变压器短路故障的类型，通过修改支路对网络方程的贡献来修改新型换流变压器的数学模型，并对修改后的数学模型进行求解。

4.1 新型换流变压器外部短路故障计算

4.1.1 新型换流变压器外部节点接地短路

a.设新型换流变压器外部节点④直接接地短路，则节点④转化为参考节点，那么电网络中的支路对节点④将没有贡献，因此需要消去原网络方程中支路对节点④的贡献：消去式（8）节点导纳矩阵第4行和第4列，这时网络方程降低一阶。因节点④转化为参考节点，故去掉式（8）节点电压和节点电流列向量的第4个量，从而得到新数学模型，求解该数学模型得到除节点④之外的其他节点的电压值，将求解出的节点电压值代入式（8），展开式（8）第4行便可以得到节点④接地短路电流值。

b.当新型换流变压器2个或2个以上外部节点接地短路时，计算方法与上相似。

4.1.2 新型换流变压器外部节点之间短路

a.设新型换流变压器外部节点④和⑤直接短路，这2个节点合为1个节点，设这个节点为节点④。因此需要将原网络方程中支路对节点④和⑤的贡献合并：将式（8）节点导纳矩阵第5行和第5列的元素分别加到第4行和第4列，同时去掉第5行和第5列，网络方程降低一阶。因节点④和⑤合为节点④，故去掉式（8）的节点电压和节点电流列向量的第5个量，从而得到新的数学模型，求解该数学模型得到所有节点的电压值，将求解出的节点电压值代入式（8），展开式（8）的第5行便可以得到节点间的短路电流值。

b.设新型换流变压器外部节点④和⑤通过阻抗z短路，新增的支路编号为i，则新节点导纳矩阵Y′需要在式（8）节点导纳矩阵Y加上支路i的贡献。设支路i的电流由节点④流出，流入节点⑤，则支路i的电流大小为（U④-U⑤）／z，支路 i对节点④的贡献为：Y′（4，4）i=1 ／z；Y′（4，5）i=-1 ／z。支路 i对节点⑤的贡献为：Y′（5，4）i=-1 ／z；Y′（5，5）i=1 ／z。则有：

c.当新型换流变压器3个或3个以上外部节点短路时，计算方法与上相似。

上述的外部短路故障计算也可以通过修改式（10）的数学模型来实现。

4.2 新型换流变压器内部短路故障计算

内部短路故障计算可以根据图5的F点在绕组的位置以及其短路故障的类型，通过修改式（10）的数学模型来实现，修改的方法与上相似。

5 算例

现结合具体算例来验证本文所建新型换流变压器数学模型及短路故障计算方法的正确性。新型换流变压器部分设计数据如表1所示。

本文根据图1所示新型换流变压器的接线方案和表1所示的单相设计参数值，采用MATLAB／Simulink中的电力系统仿真模块（PSB）建立了含新型换流变压器的电力系统仿真模型，三相电压的幅值为220V，阻抗值的单位为Ω，节点电压和短路电流的值可以通过附加测量模块得到。将仿真模型的结果与采用本文方法建立正常数学模型以及计算外部短路的程序运行结果相比较。

表1 新型换流变压器（单相）部分参数值Tab.1 Partial parameters of converter transformer（single phase）

5.1 正常数学模型和外部短路故障算法验证

为了便于描述，把新型换流变压器的原边绕组端口节点A1、B1、C1看作节点H的三相，副边延边绕组端口节点a2、b2、c2为节点J的三相，副边公共绕组端口节点a3、b3、c3为节点K的三相，则节点电压和节点电流列向量分别为Ui=[UiAUiBUiC]T、Ii=[IiAIiBIiC]T，其中i=H，J，K。设短路点的三相电流为 IST=[IfAIfBIfC]T。

新型换流变压器正常状态和外部节点短路故障仿真和计算结果对比分别如表2和表3所示，限于篇幅，本文只对节点J的故障进行验证。

从表2和表3可以看出，仿真结果和计算结果非常接近，这充分表明了正常数学模型和外部短路故障算法的正确性和精确性。

表2 正常状态节点三相电压结果对比Tab.2 Comparison of three-phase voltages of normal node

5.2 内部故障数学模型验证

本文主要从以下2个方面来验证新型换流变压器内部故障数学模型的正确性。

a.随着短路故障匝数的变化，短路故障匝内电流和一次电流与故障匝数的关系。

保持端点A1固定，与节点A1短路的故障点F从原边A相绕组的1%处滑到50%处，短路电流计算方法如4.2节所述，一次侧的A相电流可由式（9）求出，可以得到图6所示的曲线。

由图6可见，新型换流变压器发生匝间短路故障时，故障匝内的电流随着匝数的增加而减少，而一次侧电流却随着故障匝数的增加而增加，故障匝数很小时，一次侧电流很小，而故障匝内电流却很大。

表3 节点J短路故障时的结果对比Tab.3 Comparison of three-phase voltages of node J with different short circuit faults

图6 一次侧电流、短路故障匝内电流与短路故障匝数的关系曲线Fig.6 Relationship curves of primary current or inter-turn short circuit current vs.short circuit turn number

b.一次侧电流和短路故障匝内的电流随着短路故障阻抗的改变而变化的规律。

设新型换流变压器A相原边绕组的40%处与节点A1通过一个短路故障阻抗Zs相连，改变故障阻抗Zs的大小，可以得到表4所示的变化规律。

由表4可见，一次侧的电流和短路故障匝内的电流随着短路故障阻抗的增大均逐渐减小，这说明相同位置的同类故障，短路故障阻抗越小后果越严重。

综合上面的新型换流变压器内部故障计算结果可以发现，虽然新型换流变压器具有特殊的绕组布置结构与阻抗匹配关系，但其内部故障计算结果呈现的规律与文献[18-19]的理论分析结果一致，从而说明了本文所建立的新型换流变压器内部数学模型的正确性，可以用来定量计算新型换流变压器的内部故障。

表4 一次侧A相电流、短路故障匝内电流与短路故障阻抗的关系Tab.4 Relationship between primary current of phase-A or inter-turn short circuit current and short circuit fault impedance

6 结论

a.提出了一种采用添加法建立新型换流变压器正常状态、内部故障数学模型以及计算其内外部短路故障的通用方法，实际算例验证了该方法的正确性与精确性。

b.经研究发现，互感支路对节点的贡献不仅和与之直接相连的节点相关，还和与之耦合的支路两端的节点相关。本文详细研究了确定互感支路对网络方程贡献的方法以及如何根据节点或支路的变化应用添加法形成新网络方程的方法。这些研究成果不仅是对文献[14]的一个有益的补充，而且拓宽了添加法的应用范围。

c.本文将变压器看作多个支路的耦合，并充分考虑了变压器的具体接线方式，结合变压器耦合电路的有向图，将添加法建立网络方程的思想成功地应用于变压器数学建模中，而且根据变压器实际制造尺寸及所选用的材质，通过电磁场分析有限元计算方法求得所需的自感、互感参数，而无需具备零序短路试验数据。本文中添加法与电磁场有限元计算方法有效的结合使用为变压器数学建模开辟了一种新的思路。

d.所建立的变压器数学模型清晰地反映了变压器绕组的接线方式，物理概念明确，且数学建模和短路故障计算的过程简单明了，只需结合变压器的接线方式，并求解相应的R、L矩阵参数，通过添加或修改支路对网络方程的贡献，不仅可以非常便捷地直接形成变压器的正常状态和内部故障数学模型，而且可以计算变压器任意的内外部短路故障。

e.本文只是对新型换流变压器的线性模型进行了建模及故障计算，考虑换流变压器铁芯饱和是笔者下一步要研究的工作。